Anzahl der Nullstellen bei Funktionen

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sincer

sincer hat kostenlosen Webspace.

16:03, 4.3.2009

merovius schrieb:

sincer schrieb:
Also die Beispiel funktion von Wikipedia, die ich vorher gepostet hatte... blabla/20 ... da kann ich mir den 20er Wegdenken, weil nur der Nenner zählt, oder wie?
*Nicht sicher bin*

Nein, in dem Fall nicht, weil hinter dem durch 20 geteilten Polynom ncoh eine +2 steht. Erst wenn du wirklich rein zwei Polynome durcheinander teilst kannst du das so machen. (wie gesagt, glaube ich, hab keine Lust mir Beweis oder Gegenbeispiel zu überlegen ;) )

Achso... das hatte ich überhaupt falsch verstanden...
Das geht ja sowieso nur, wenn im Zähler ausschließlich Zahlen (also kein x) stehen.
In dem Fall kann im Nenner was auch immer stehen und die Funktion hat trotzdem keine Nullstellen, richtig?

Kurz gesagt: Handelt es sich nur um einen Bruch, der im Zähler kein x enthält, so hat die Funktion keine Nullstellen?
Stimmt das so?

lg
Sincer
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~~m******s~~

16:35, 4.3.2009

Achso... das hatte ich überhaupt falsch verstanden...
Das geht ja sowieso nur, wenn im Zähler ausschließlich Zahlen (also kein x) stehen.[/qoute]

Ne, meine Aussage war schon allgemeingültig, wenn du einen Bruch von Funktionen hast, dann zählt der Nenner für die Nullstellen nix. Einzige Ausnahme ist, was Caiexus gesagt hat, wenn Zähler und Nenner gleichzeitig Nullstellen haben, dann können dove Sache passieren, brauchst dich aber glaub ich nicht drum kümmern. Prinzipiell, wenn es nur um Anzahl bzw. Position der Nullstellen geht, kannst du dir den Nenner weg denken, da ist nur der Zähler wichtig. Hat der keine Nullstellen, hat die Fkt. keine Nullstellen, hat er 12 Nullstellen, hat die Fkt. 12 Nullstellen (wie gesagt, evtl. unter Vorraussetzung, dass der Nenner da keine Nullstellen hat).
~~c*****s~~

12:04, 5.3.2009

Wenn ich beispielsweise eine Funktion 5. Grades habe, und ich 4 Antwortmöglichkeiten habe, wovon zB. zwei Gerade Zahlen (2 und 4) und eine Zahl, die größer als 5 ist (7), und dann nur noch eine Antwort bleibt, (zB 3), dann muss ich nicht mehr großartig herumrechnen. Es sei denn, es gibt die Wahlmöglichkeit "Keine der angegebenen" XD
Ist dir klar, was Vielfachheit einer Nullstelle bedeutet?

Durch den Satz weißt du z. B. bei einem Polynom 5. Grades dass du folgende Möglichkeiten hast:

5 einfache Nullstellen
eine 5-fache Nullstelle
eine doppelte Nullstelle und eine einfache Nullstelle
eine dreifache Nullstelle
eine einfache Nullstelle
usw.

nicht möglich wären z. B.:
zwei doppelte Nullstellen (Summe der Vielfachheiten =4 also gerade)
eine dreifache und vierfache Nullstelle (Summe der Vielfachheiten = 7 also größer als der Grad)
vier einfache Nullstellen
Autor dieses Themas
sincer

sincer hat kostenlosen Webspace.

23:02, 6.3.2009
ho ;)

Im laufe dieses Threads habe ich mich ein wenig über die Vielfachheit von Nullstellen informiert...
Und um ehrlich zu sein hoffe ich, dass das bei dem Test nicht gefragt ist... ^^
Oder anders Formuliert, dass nur einfach Nullstellen gefragt sind.
(Die Vielfachheit von Nullstellen habe ich in der Form nie im Unterricht gelernt.)

D.h., dass ich die Aufgabe so verstanden habe:
Wie viele Nullstellen gibt es?
BSP 1)
NS: 1; 3; -1;
-> 3 Nullstellen
BSP 2)
NS: 1; 1; 1;
-> 1 Nullstelle
(Also wir haben das so in Mathe gemacht... Wenn es eine Doppelte Nullstelle gab, wurde beim Ergebnis diese Doppelte nur einmal aufgezählt. Wenn es also die Nullstellen 1; 1; 3; dann waren die Ergebnisse bloß x1 = 1 und x2 = 3.)

(Wie entstehen eig. mehrere Nullstellen durch einen Punkt?)

Danke für all eure Tipps.
Ich denke, dass das sehr Hilfreich für mich sein kann :)

thx
Sincer
~~w******s~~

23:17, 6.3.2009

sincer schrieb:
(Wie entstehen eig. mehrere Nullstellen durch einen Punkt?)

Ne gute Frage. Ich könnte mir vorstellen, dass es bei solchen linearen Faktoren ja auch den Fall geben kann, dass ein Faktor mehrfach vorkommt. (z.B. (x-2)*(x-2)*(x+1)=0)
Also diese Doppelte Nullstelle wär ja auch bei der Funktion f(x)= x². Dabei kann man ja (x*x) für jeden Faktor die Null einsetzen.

Gruß werktags
~~m******s~~

23:32, 6.3.2009

sincer schrieb:
ho ;)

Im laufe dieses Threads habe ich mich ein wenig über die Vielfachheit von Nullstellen informiert...
Und um ehrlich zu sein hoffe ich, dass das bei dem Test nicht gefragt ist... ^^
Oder anders Formuliert, dass nur einfach Nullstellen gefragt sind.
(Die Vielfachheit von Nullstellen habe ich in der Form nie im Unterricht gelernt.)

D.h., dass ich die Aufgabe so verstanden habe:
Wie viele Nullstellen gibt es?
BSP 1)
NS: 1; 3; -1;
-> 3 Nullstellen
BSP 2)
NS: 1; 1; 1;
-> 1 Nullstelle
(Also wir haben das so in Mathe gemacht... Wenn es eine Doppelte Nullstelle gab, wurde beim Ergebnis diese Doppelte nur einmal aufgezählt. Wenn es also die Nullstellen 1; 1; 3; dann waren die Ergebnisse bloß x1 = 1 und x2 = 3.)

(Wie entstehen eig. mehrere Nullstellen durch einen Punkt?)

Danke für all eure Tipps.
Ich denke, dass das sehr Hilfreich für mich sein kann :)

thx
Sincer

So schwierig zu verstehen sind Vielfachheiten eigentlich nicht. Du kannst schlicht im reellen viele Polynome zerlegen in Linearfaktoren, also das Polynom in ne Form
$Formel: (x-a)^k\cdot(x-b)^n \cdot...\cdot (x-c)^m$
bringen. Da sieht man dann ja die Nulsltellen ziemlich direkt. Die Exponenten der Linearfaktoren (also k, m, n) sind dann die Vielfachheiten der Nullstellen. z.B.:
$Formel: x^6 - 15x^5 + 72x^4 - 78 x^3 - 255 x^2 + 525x - 250 = (x-1)^2(x+2)(x-5)^3$
Hat die Nullstellen 1, -2 und 5. 1 hat die Vielfachheit 2, -2 hat die vielfachheit 1 und 5 hat die Vielfachheit 3. Ist ein kompliziertes Polynom, wollte aber, das man mal sieht, wie gemeint ist. Andre Fälle sind z.B.
$Formel: x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ -> Doppelte Nullstelle
$Formel: x+1= (x+1)^1$ -> Einfache Nullstelle
$Formel: x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$ Zwei einfache Nullstellen
$Formel: x^12 = (x-0)^12$ -> 12fache Nullstelle ;)
Deswegen wie gesagt, einfach versuchen in Linearfaktoren zu zerlegen (Nullstelle raten udn dann Polynomdivision) und dann einfach abzählen. ;)
Autor dieses Themas
sincer

sincer hat kostenlosen Webspace.

23:53, 6.3.2009
ho ;)

Danke für die klasse Erklärung :)

Wenn ich das richtig verstanden habe, kann ich aber in meinem speziellen Fall (für den Aufnahmetest) auf die Polynomdivision verzichten...

Wenn ich es schaffe, die Funktion in lauter Linearfaktoren zu zerlegen, kann ich schon erkennen, wie viele Nullstellen ich habe. (Bzw. weiß ich jetzt noch nicht, ob ich dabei Rücksicht auf die Vielfachheit von Nullstellen nehmen muss... ändert aber nichts, weil man das ja dann trotzdem gut erkennen kann.)

Richtig?

lg
Sincer

PS: Bin gerade durch Zufall drauf gekommen, dass alle Funktionen, die aus einer reinen Wurzel von x bestehen (also zB Quadratwurzel von x oder 5. Wurzel von x) genau eine Nullstelle bei (0|0) haben :D
flotschie

flotschie hat kostenlosen Webspace.

11:32, 19.3.2009

Zur Ermittlung der Nullstellen würde ich einfach immer gleich vorgehen!!

Immer die gegebene Funktion gleich Null setzen ist die sicherste Methode!

F(x)=0

z.B: F(x)= x³-x²+x=0 -> x*(x²-x+1 )=0 -> x1=0; x2=.... x3= ......

Kann mir wer sagen wie man dass löst:

x³+x²-1=0 ???

ergibt dass: x*(x²+x)-1 -> x1=1; x2 und x3 = Ergebnis der quadratischen Gleichung x²+x-1 ?

mfg
~~m******s~~

11:53, 19.3.2009

flotschie schrieb:

Zur Ermittlung der Nullstellen würde ich einfach immer gleich vorgehen!!

Immer die gegebene Funktion gleich Null setzen ist die sicherste Methode!

Achne?

Kann mir wer sagen wie man dass löst:

x³+x²-1=0 ???

ergibt dass: x*(x²+x)-1 -> x1=1; x2 und x3 = Ergebnis der quadratischen Gleichung x²+x-1 ?

1 ist keine Lösung, irgendwas hast du also falsch gemacht. Die Gleichung die du da hast ist ziemlich schwierig. Hab das grade mal in Derive eingegeben:

$Formel: x_1 = \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}} - \frac{1}{3}$

Dazu dann noch diese Komplexe Nullstelle:

$Formel: x_2 = - \sqrt[3]{\frac{25}{432} - \frac{\sqrt{69}}{144}} - \sqrt[3]{\frac{25}{432} + \frac{\sqrt{69}}{144}} - \frac{1}{3} + i \cdot \left( \sqrt[3]{\frac{25 \sqrt{3}}{144} + \frac{\sqrt{23}}{16}} - \sqrt[3]{\frac{25 \sqrt{3}}{144} - \frac{\sqrt{23}}{16}} \right)$

und natürlich ihr komplex konjugiertes.

$Formel: x_3 = - \sqrt[3]{\frac{25}{432} - \frac{\sqrt{69}}{144}} - \sqrt[3]{\frac{25}{432} + \frac{\sqrt{69}}{144}} - \frac{1}{3} - i \cdot \left( \sqrt[3]{\frac{25 \sqrt{3}}{144} + \frac{\sqrt{23}}{16}} - \sqrt[3]{\frac{25 \sqrt{3}}{144} - \frac{\sqrt{23}}{16}} \right)$

Bringt Spaß, nä? Also, zum Raten definitiv zu komplex, Linearfaktorzerlegung kann man sich sparen.
Entweder haut man da also mit nem numerischen verfahren drauf, wie dem Newtonverfahren. Oder - es gibt auch Lösungsformeln für kubische Gleichungen (wie die PQ-Formel für quadratische).

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Beitrag zuletzt geändert: 19.3.2009 12:06:33 von merovius
schattenmagier

schattenmagier hat kostenlosen Webspace.

16:24, 7.4.2009

sincer schrieb:
ho ;)

Ich habe eine kurze Frage, was die Anzahl der Nullstellen bei Funktionen angeht:

Ist es immer so, dass der höchste Exponent gleich die Anzahl der Nullstellen ist?

Also zum Beispiel:
f(x) = 2x^2 + x
-> 2 Nullstellen
f(x) = x^5 - x^3 + x
-> 5 Nullstellen
f(x) = x
-> 1 Nullstelle
f(x) = (2x^3 + 6x^2)^2 + 2x
-> 6 Nullstellen

Ist das wirklich immer so?
Oder gibt es auch ausnahmen? (Wenn ja, welche, woran erkennt man das, woran liegt das, usw usw...)

Danke im voraus
Sincer

uhm, also, ich habe mich jetzt mal durch das ganze mathematische hier durchgequält... habe leider nicht alles verstanden, und vor allem ging es doch um die frage, ob es die nullstellen seien,und nicht, wie man die berechnet oder hab ich da jetzt was übersehen?

Aber auf jeden Fall kann ich dir erstmal mit bestimmtheit sagen, dass eine funktion à la f(x)=x^n + x^a +c unter der vorraussetzung n>a
nicht n nullstellen hat... die erste ableitung davon hat n-1 nullstellen, bzw. die funktion selber hat n-1 extremstellen... ;)

Ich hoffe, dass hilft in diesem allzu mathematischen disput ein wenig weiter^^

Den beweis dafür habe ich leider gerade nichtmehr auswendig im kopf... ging halt darum, zu beweisen, dass zu der ableitung bei einer n+1-potenz nur eine weitere stelle dazukommen kann...
Autor dieses Themas
sincer

sincer hat kostenlosen Webspace.

17:10, 8.4.2009
ho ;)

Danke Schattenmagier, und an der Stelle gleich noch ein Danke an alle, die mir geholfen haben.

Dieser Thread ist ja nicht mehr ganz aktuell XD
Den Aufnahmetest habe ich bereits bestanden :)

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Ein wahres Wort. ^^
Mein Gedanke war, dass die mich bei dem Test mit Gleichungen überfluten, und ich nicht genug Zeit habe, um alle (oder die meisten - wie viele Wissen, ist ein solcher Test ja oft so aufgebaut, dass man kaum alle Fragen beantworten kann, weil einfach zu wenig Zeit zur Verfügung steht...) gleich Null zu setzen.
Deswegen habe ich gehofft, dass ich ein paar Tipps bekomme, wie ich durch "intensives hinsehen" *g* herausfinden kann, wie viele Nullstellen eine Gleichung hat. Ich wurde zwar enttäuscht, was das anging, allerdings habe ich doch einige gute Tipps hier bekommen, um das ganze zumindest etwas besser abschätzen zu können.

Im Endeffekt war es bei dem Test dann so, dass nicht die Anzahl der Fragen das schwere war, sondern die Schwierigkeit, die teilweise so hoch gesetzt war, dass man sie eig. nicht (Es sei denn, man ist so ein Mathe Genie wie Merovius - thx nochmal - ^^) beantworten konnte. Dann kam man natürlich in den Stress und in die Verzweiflung, weil man zwischendurch dachte, dass man das nie schafft. Und dadurch hat man dann auch relativ viel Zeit verloren :D
(zB. Sin, Tan, oder Logarithmus Funktionen im Kopf XD - Reine Stress-Verursacher, im Normalfall nicht lösbar...)

lg
Sincer
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