Anzahl der Nullstellen bei Funktionen
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-
ho ;)
Ich habe eine kurze Frage, was die Anzahl der Nullstellen bei Funktionen angeht:
Ist es immer so, dass der höchste Exponent gleich die Anzahl der Nullstellen ist?
Also zum Beispiel:
f(x) = 2x^2 + x
-> 2 Nullstellen
f(x) = x^5 - x^3 + x
-> 5 Nullstellen
f(x) = x
-> 1 Nullstelle
f(x) = (2x^3 + 6x^2)^2 + 2x
-> 6 Nullstellen
Ist das wirklich immer so?
Oder gibt es auch ausnahmen? (Wenn ja, welche, woran erkennt man das, woran liegt das, usw usw...)
Danke im voraus
Sincer -
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-
Joar, es ist wirklich so.
Allerdings kann es jetzt sein, dass du eine doppelte Nullstelle hast. D.h. nicht alle Nullstellen sind in der Zeichnung wirklich sichtbar. Sie fallen also auf ein und den selben Punkt. -
Doch, hat eine Nullstelle bei x = 1.
f(x) = x^2 +1 hat jedoch keine Nullstelle.
EDIT: Ups, sry!
Allerdings muss man den Grad betracht und nicht den höchsten Exponenten:
f(x) = x + 2 ^ 3
1 Nullstelle
Beitrag zuletzt geändert: 22.2.2009 17:53:29 von toolz -
toolz schrieb:
Nein, streng genommen nicht:
f(x) = x + 1
hat keine Nullstelle und den Grad 1
Doch, hat eine Nullstelle bei.
hat jedoch keine Nullstelle.
Beitrag zuletzt geändert: 22.2.2009 17:54:40 von kochmarkus -
toolz schrieb:
Nein, streng genommen nicht:
f(x) = x + 1
hat keine Nullstelle und den Grad 1
Wasn das für ne Geschichte
y = x + 1 hat eine Nullstelle, bei NST( -1 ; 0 )
Im übrigen gibt es auch quadratische Funktionen die keine Nullstelle haben( dafür gibts ne Diskriminante ).
Also würde ich den Grad als Anzeige für die möglichen Nullstellen nehmen.
Nachzulesen unter anderem hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Mitternachtsformel#L.C3.B6sungsformeln -
Nullstellen bei Funktionen angeht:
Du sprichst von Polynomen. Das ist ganz wichtig, da diese Systematik nur bei Polynomen funktioniert, z.B. beim Sinus oder bei der Exponentialfunktion ist sie ziemlich sinnlos...
Ist es immer so, dass der höchste Exponent gleich die Anzahl der Nullstellen ist?
Ja, mit folgenden Einschränkungen:
1. Es gibt wie bereits erwähnt mehrfache Nullstellen. Beispiel ist x^3 mit nur einer Nullstelle, die aber dreifach zählt.
2. Die Nullstellen können Komplex sein. Beispiel dafür ist x^2 + 1 mit den Nullstellen i und -i.
Wenn man sich auf die reellen Zahlen beschränkt udn Vielfachheiten ignoriert, kann die Anzahl bis zu n (Grad der Funktion) werden. Das Minimum hängt davon ab, ob n gerade oder ungerade ist, bei geradem n ist das Minimum , bei ungeraden ist das Minimum 1.
-
Das ganze Phänomen nennt sich Fundamentalsatz der Algebra und kann hier nachgelesen werden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra -
ho ;)
Erstens einmal danke für die raschen und vielen Antworten.
Echt klasse!
Das macht die Sache vermutlich einfacher...
(Es geht um einen Aufnahmetest an einer Fachhochschule)
Unter anderem eben das hier...
Das Erklärungsbeispiel lautete wie folgt:
Wie viele Nullstellen hat die Funktion?
f(x) = 5x^2 - 3
A) 0
B) 1
C) 2
Lösung: die Funktion hat zwei Nullstellen, also stimmt Lösung C.
Mir ist bewusst, dass die mir sicher kein schweres Beispiel haben zukommen lassen... Ich sollte mir anhand des Beispieles nur klar machen können, was bei dem Test gefordert wird.
Ich schätze mal, dass die Funktionen vom Aufbau her etwas schwerer gestaltet werden. (zB. Klammern, Verreihung, etc.)
Hat vil. noch jemand Erfahrung mit solchen Tests?
Weil wenn man die alle nach Schema F lösen kann birgt das eig. kaum eine Herausforderung... wäre das nicht zu einfach?! Da muss doch noch irgendwo ein Hund vergraben sein, oder was meint ihr?
thx
Sincer
PS: Gut zu wissen, dass Funktionen wie...
f(x) = x^2 + y
sowie f(x) = y
(wobei y eine beliebige (im ersten Beispiel positive) Zahl darstellt - zB 5)
... keine Nullstellen haben :D -
Naja, wenn das so oder so ähnlich aussehen könnte, dann geh ich mal davon aus, dass so en paar grundlegende Funktionstypen abgefragt werden. Sprich: a(x-b)^c + d. Wobei ich nicht davon ausgehe, dass die Fragen wie viele Nullstellen ne Funktion hat wie f(x)= x^7+5x^6+1/3*x^3+x^2-1. Bei einer Parabel ist das ja relativ einfach, die kann Null, eine oder zwei Nulstellen haben und da kann mans auch ma schnell rechnen:P
Gruß werktags -
sincer schrieb:
Wenn es der Aufnahmetest für eine Fachhochschule ist, kann der ganze Abiturstoff vorkommen.
Ich schätze mal, dass die Funktionen vom Aufbau her etwas schwerer gestaltet werden. (zB. Klammern, Verreihung, etc.)
Hat vil. noch jemand Erfahrung mit solchen Tests?
Weil wenn man die alle nach Schema F lösen kann birgt das eig. kaum eine Herausforderung... wäre das nicht zu einfach?! Da muss doch noch irgendwo ein Hund vergraben sein, oder was meint ihr?
Schwer wird es schon wenn die höchste Potenz von x größer gleich 3 ist (Grad > 2), in der 11-ten macht man das oft so, dass man eine Nullstelle a rät und dann das Polynom durch (x - a) mit Polynomdivision dividiert, daraus ergibt sich wieder ein neues Polynom, für das man das wiederholt, also wieder raten und dividieren. Das wiederholt man so lange, bis man ein quadratisches Polynom hat, für das man die pq-Formel anwenden kann.
Es gibt noch einen weiteren hilfreichen Satz, den man evtl. in der Schule gemacht hat: Wenn die Nullstelle des Polynoms auch eine Nullstelle der Ableitung ist, dann ist a eine doppelte Nullstelle.
Das lässt sich noch verallgemeinern zu:
dann ist a eine n+1-fache Nullstelle (
bedeutet die n-te Ableitung)
Kann unter Umständen hilfreich sein:
Wie viele Nullstellen hat:
?
Man rät noch relativ schnell, dass 1 und -0.5 Nullstellen sind. Jetzt ist die Ableitung:
undund
, also sind 1 und 0.5 eine doppelte Nullstellen und wir sind fertig.
-
caiexus schrieb:
Wenn es der Aufnahmetest für eine Fachhochschule ist, kann der ganze Abiturstoff vorkommen.
Jop... ist der Aufnahmetest für eine FH :P
Und wenn der großteil des Maturastoffes abgefragt wird, steh ich ziemlich blöd da.
Das ist bei mir nämlich jetzt schon über ein hlabes Jahr her... Das klingt zwar nicht nach viel, aber wenn man in so einer Zeit eig. nichts mehr lernt hat man kaum noch eine Ahnung davon :/
Ich haben dieses Problem in der Schule allerdings mit dem Newtonschen Näherungsverfahren gelöst...
Das muss ich aber (hoffentlich) sicher nicht können, weil bei dem Test kein Taschenrechner oder ähnliche Hilfsmittel erlaubt sind... Damit wäre es für mich unlösbar, selbst wenn ich das wieder lerne :D
Bei diesem Verfahren muss man auch zuerst den Anfangswert schätzen, und dann weiter rechnen...
Danke auf jeden Fall für deine ausführliche Erklärung.
Ich hoffe nicht, dass so etwas kommt, weil ich dann wie gesagt ziemlich alt aussähe...
Die Aufgaben sollten mehr oder weniger im Kopf bzw. mit Zettel und Kuli lösbar sein.
Und wie gesagt... man muss nicht herausfinden, wie die Nullstellen lauten, sondern wie viele es gibt!
Wenn also noch jemand Tipps und Tricks für mich hat, würde ich mich sehr freuen :)
lg
Sincer -
Die Aufgaben sollten mehr oder weniger im Kopf bzw. mit Zettel und Kuli lösbar sein.
Das Problem ist, dass die Frage, wie viele Nullstellen es gibt, normalerweise darauf hinausläuft, die Nullstellen zu finden.
Und wie gesagt... man muss nicht herausfinden, wie die Nullstellen lauten, sondern wie viele es gibt!
Wenn man die Nullstellen der Ableitung hat, kann man sich anschauen wo die Hoch- und Tiefpunkte liegen (z. B. abwechselnd oberhalb und unterhalb der x-Achse), damit bekommt man sofort die Anzahl der Nullstellen... dummerweise hat die Ableitung nur einen um eins kleineren Grad, also hilft uns das auch nicht viel weiter.
Ansonsten kann ich dir nur den absolut genialen Tipp geben, auf den du garantiert nie selbst gekommen wärst
: finde Zahlen a, b so dass f(a) < 0 und f(b) > 0, dann weißt du, dass sich mindestens eine Nullstelle zwischen a und b befindet.
Leider kann man auf diese Art nur zeigen, wie viele Nullstellen das Polynom mindestens hat, aber für den Fall, dass man die maximale Anzahl gefunden hat (Grad des Polynoms), reicht es aus.
Beitrag zuletzt geändert: 26.2.2009 19:16:54 von caiexus -
caiexus schrieb:
Das Problem ist, dass die Frage, wie viele Nullstellen es gibt, normalerweise darauf hinausläuft, die Nullstellen zu finden.
Nicht unbedingt. Wenn man gewisse Funktionstypen kennt, kann man immerhin schon Einschränkungen geben! Ich bezieh mich jetzt auf ganzrationale bei denen man zumindest sagen kann, dass sie nicht mehr haben können als ihr Grad. Und dann natürlich so Sachen wie a(x-b)^c + d, welche man durch reines Überlegen relativ gut abschätzen kann.
caiexus schrieb:
Ansonsten kann ich dir nur den absolut genialen Tipp geben, auf den du garantiert nie selbst gekommen wärst : finde Zahlen a, b so dass f(a) < 0 und f(b) > 0, dann weißt du, dass sich mindestens eine Nullstelle zwischen a und b befindet.
Und was ist bei ner Polstelle (keine Nullstelle!)? Bei der kann sowas auch gelten und dann ist das blöd. Gut Polstellen gibts bei gebrochenrationalen...
Gruß werktags -
Nicht unbedingt. Wenn man gewisse Funktionstypen kennt, kann man immerhin schon Einschränkungen geben! Ich bezieh mich jetzt auf ganzrationale bei denen man zumindest sagen kann, dass sie nicht mehr haben können als ihr Grad.
erzähl mir was neues!! Das hab ich schon mindestens drei mal gesagt.... übrigens braucht er die exakte Anzahl der Nullstellen! Wie komme ich z. B. darauf, dassgenau zwei Nullstellen hat ohne die Gleichung f(x) = 0 zu lösen? Das geht im allgemeinen nicht.
Und was ist bei ner Polstelle (keine Nullstelle!)? Bei der kann sowas auch gelten und dann ist das blöd. Gut Polstellen gibts bei gebrochenrationalen...
Wenn die Funktion nicht stetig ist, geht das nicht. Es geht hier aber um Polynome (oder nicht??) und die sind immer stetig.
Beitrag zuletzt geändert: 28.2.2009 9:46:21 von caiexus -
ho ;)
Also es gibt da scheinbar doch einige Ausnahmen...
Wobei ich nicht erkennen kann, woran das liegt.
Durch Zufall habe ich auf der Wikipedia Seite das hier gefunden:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Polynomialdeg5.png&filetimestamp=20051204095447
Oben sieht man, wie die Funktion grafisch aussieht.
Darunter kann man die Funktion als mathematischen Ausdruck ansehen.
(Habe die Grafik zur Sicherheit mit Hilfe eines anderen Funktions-Zeichnungs-Tool überprüfen lassen... das stimmt soweit)
Nun kann man in der Grafik gut sehen, dass die Funktion 3 Nullstellen hat.
Wenn man sich die Funktion als mathematischen Ausdruck allerdings ansieht, kann man erkennen, dass es sich dabei um eine Funktion 5. Grades handelt.
Wie darf ich das jetzt verstehen?
Hab ich da was falsch verstanden? Hat die Funktion doch 5 Nullstellen, und ich verstehe da was nicht richtig, oder wie? Oder kann ich mich doch nicht darauf verlassen, dass eine Polynomfunktion 5. Grades auch wirklich 5 Nullstellen hat.
Weiterhin vielen dank für eure Antworten :)
thx
Sincer
PS: Sry, wenn meine Fragen jetzt in gewisser Weise dumm klingen, aber ich habe sowas von keinen Plan mehr von dem ganzen Zeug :/
PPS: Bei den Beispielen, die mir von der FH zugeschickt wurden, steht als Überschrift nur "Beispiele Funktionen" - Es wird nicht erwähnt, dass es sich um Polynomfunktionen handeln wird... -
Das hat niemand behauptet Eine Funtkion 5. Grades kann höchstens 5 Nullstellen haben. Sie kann aber auch weniger haben. In diesem Beispiel hat sie nur 3. Das ist durchaus möglich. Es ist aber nicht möglich, dass die 7 haben, da das ja mehr als 5 wären.
Das Beispiel ist jetzt auch nicht sehr gut. Aber mir fehlt da noch was ein, als ich diese Funktion gesehen hab. Stell dir eine Funktion vor, wie
f(x) = (x-4)* (x+3)* (x-2).
Bei solchen linearen Faktoren ist es sehr einfach zu sehen, dass die Nullstellen bei 4,-3 und 2 sind. Also kannste hoffen, dass so eine Funktion dran kommt. Bei dieser Funktion geht das leider nicht so gut, da am Ende noch eine +2 ist. Diese verschiebt ja alles wieder nach oben.
Gruß -
Wie darf ich das jetzt verstehen?
Hab ich da was falsch verstanden? Hat die Funktion doch 5 Nullstellen, und ich verstehe da was nicht richtig, oder wie? Oder kann ich mich doch nicht darauf verlassen, dass eine Polynomfunktion 5. Grades auch wirklich 5 Nullstellen hat.
Wir haben schon mehrmals gesagt, dass das höchstens n sind (wenn n der Grad ist). Wie bereits erwähnt sind die Effekte, die die Anzahl reduzieren können, dass mehrere Nullstellen auf den gleichen Punkt fallen (z.b. hat (x-1)^2 nur eine Nullstelle, die zählt aber eigentlich doppelt) und dass es nicht nur reelle, sondern auch komplexe Nullstellen gibt.
In der Pracis, da vermutlich nur reelle Zahlen behandelt werden, reicht es zu sagen: Es gibt Maximal n Nullstellen, alles zwischen 0 und n kann sein (Wie gesagt, bei n ungerade gibt es immer mindestens eine Nullstelle).
Allgemein, wenn du die Anzahl der Nullstellen herausfinden willst: Eine NS raten (wird funktionieren, bei "Schulpolynomen" ist das meistens 1, -1, 2 , -2, und ganz selten 3 oder -3), dann machst du ne Polynomdivision durch (x - NS) und bekommst ein Polynom mit Grad n-1, rätst davon wieder eine NS, machst wieder Polynomdivision und machst so weiter, bis du den Kram komplett in Linearfaktoren zerlegt hast (Faktoren der Form (x-a)). Die Anzahl verschiedener Linearfaktoren ist dann die Anzahl deiner Nullstellen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Linearfaktorzerlegung
http://de.wikipedia.org/wiki/Polynomdivision
Bei den Beispielen, die mir von der FH zugeschickt wurden, steht als Überschrift nur "Beispiele Funktionen" - Es wird nicht erwähnt, dass es sich um Polynomfunktionen handeln wird...
Dann können noch drankommen:
- Trigonometrische Funktionen, also Sinus und Kosinus. Nullstellen liegen beim Sinus jeweils bei, wobei k beliebige ganze Zahl ist, bei Kosinus jeweils bei
. Gibt also jeweils unendlich.
- Einfache rationale Funktionen, also z.B. Polynome oder Dinge wie. Die Nullstellen sind dann jeweils die Nullstellen des Zählers (1/x z.B. hat also keine Nullstellen)
- Expontentialfunktion und Logarithmus evtl. Ersteres hat niemals Nullstellen, zweiteres hat genau eine Nullstelle bei 1.
Viel mehr Funktionen kennt man in der Schule noch nicht. -
Die Nullstellen sind dann jeweils die Nullstellen des Zählers (1/x z.B. hat also keine Nullstellen)
wobei man noch darauf achten muss, dass die Nullstelle des Zählers nicht auch eine Nullstelle des Nenners ist (also streng genommen gar nicht im Definitionsbereich liegt).
Nochmal zu dem was meine Vorposter geschrieben haben: Die genaueste Version des Satzes ist die:
Die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen ist maximal der Grad des Polynoms. Außerdem ist die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen bei einem Polynom mit geradem Grad gerade, mit ungeradem Grad ungerade.
Mehr als das kann man nicht sagen.
ein Beispiel:
hat z. B. -1, 2 und 1 als Nullstellen.
wir sehen, dass 1 eine dreifache, -1 eine einfache und 2 eine einfache Nullstelle ist. Also ist die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen 3+1+1=5, das ist kleiner als der Grad des Polynoms (der ist 7) und ungerade -- genauso wie es uns der Satz sagt. -
ho ;)
Vielen vielen dank für eure Antworten!
Langsam taut da bei mir wieder was auf... spät aber doch XD
@werktags:
Eine Funtkion 5. Grades kann höchstens 5 Nullstellen haben.
Danke, jetzt hab ich es endlich geschnallt XD
f(x) = (x-4)* (x+3)* (x-2).
Bei solchen linearen Faktoren ist es sehr einfach zu sehen, dass die Nullstellen bei 4,-3 und 2 sind. Also kannste hoffen, dass so eine Funktion dran kommt. Bei dieser Funktion geht das leider nicht so gut, da am Ende noch eine +2 ist. Diese verschiebt ja alles wieder nach oben.
Alles klar... Wenn so etwas kommt, bin ich glücklich :P
Ich habe mir das ganze mit Hilfe eines online Grafik Zeichners angesehen... also vor allem die Veränderung der Kurve, wenn ich die Funktion (zB) +2 rechne.
Gibt es eine Möglichkeit durch "intensives Hinsehen" zu erkennen, wie viele Nullstellen durch die Addition einer Zahl verloren gehen. (Blöd ausgedrückt, ich weiß :/ )
In dem genannten Beispiel:
f(x) = (x-4)* (x+3)* (x-2)
Hab ich ja 3 Nullstellen.
Wenn ich die Funktion +5 rechne, also
f(x) = (x-4)* (x+3)* (x-2) + 5
dann habe ich noch immer 3 Nullstellen.
Bei + 6 habe ich nur mehr 2 Nullstellen,
und ab + 7 habe ich nur mehr eine Nullstelle...
Kann ich das also durch einen Trick, oder gutes Vorstellungsvermögen abschätzen?
Wenn ja, wie mache ich das? Auf was muss ich achten? Usw usw?
@merovius:
Allgemein, wenn du die Anzahl der Nullstellen herausfinden willst: Eine NS raten (wird funktionieren, bei "Schulpolynomen" ist das meistens 1, -1, 2 , -2, und ganz selten 3 oder -3)
Ich mach das dann m.H. des Horner Verfahrens.
Ich denke, dass das recht schnell funktioniert, und daher bestens geeignet ist für so einen Test.
Aber wie du so schön sagst, geht das nur bei 1) Ganzen Nullstellen zahlen, und 2) bei Niedrigen zahlen, wobei man das ja schön eingrenzen kann... (Wenn ich mich recht erinnere ist dich höchste Zahl in der Funktion gleichzeitig die Höchste und Niedrigste Zahl (+/-) einer ganzen Nullstelle...)
Also bei einer Funktion x^3 + 2x^2 - 2x + 4
Kann man schon erkennen, dass man höchstens 3 Nullstellen hat, und falls es sich um ganze Zahlen handelt, diese zwischen +4 und -4 liegen.
Wenn es sich nicht um ganze Zahlen handelt, kann ich mit dem Horner Verfahren trotzdem erkennen, wie viele Nullstellen es gibt.
Wenn ich nämlich die Zahlen von -4 bis +4 der reihe Nach einsetze, kann ich erkennen, wie viele Sprünge vom Negativen ins Positive, bzw. umgekehrt die Funktion aufweißt... und ich muss die Nullstellen ja nicht bestimmen, sondern nur wissen, wie viele es sind...
*gerade drauf gekommen bin* ^^
Habe ich folgendes richtig verstanden?
- Trigonometrische Funktionen, also Sinus und Kosinus.
Wenn ich einer Funktion Sin / Cos vorkommt, dann hat diese unendlich Nullstellen. (Bzw. da es sich um einen Multible Choice Test handelt, werde ich stutzig, wenn eine der Antwortmöglichkeiten das Unendlichzeichen beinhalten...)
- Einfache rationale Funktionen, also z.B. Polynome oder Dinge wie
Also die Beispielfunktion von Wikipedia, die ich vorher gepostet hatte... blabla/20 ... da kann ich mir den 20er Wegdenken, weil nur der Nenner zählt, oder wie?
*Nicht sicher bin*
- Expontentialfunktion und Logarithmus evtl. Ersteres hat niemals Nullstellen, zweiteres hat genau eine Nullstelle bei 1.
Also eine Funktion mit Hausnummer 5^x oder e^x hat keine Nullstelle.
Und eine Funktion mit ln(x) oder log(x) hat genau eine Nullstelle.
Stimmt das so? Oder habe ich das missverstanden?
@caiexus:
Die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen ist maximal der Grad des Polynoms. Außerdem ist die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen bei einem Polynom mit geradem Grad gerade, mit ungeradem Grad ungerade.
Gut zu wissen...
Wenn ich beispielsweise eine Funktion 5. Grades habe, und ich 4 Antwortmöglichkeiten habe, wovon zB. zwei Gerade Zahlen (2 und 4) und eine Zahl, die größer als 5 ist (7), und dann nur noch eine Antwort bleibt, (zB 3), dann muss ich nicht mehr großartig herumrechnen. Es sei denn, es gibt die Wahlmöglichkeit "Keine der angegebenen" XD
Ich hoffe, dass ich alles richtig verstanden habe, bzw. dass ihr mich eventuell korrigiert, wenn ich Müll schreibe.
Danke für eure Hilfe ;)
thx
Sincer -
Gibt es eine Möglichkeit durch "intensives Hinsehen" zu erkennen, wie viele Nullstellen durch die Addition einer Zahl verloren gehen. (Blöd ausgedrückt, ich weiß :/ )
imho unmöglich.
Wenn ich nämlich die Zahlen von -4 bis +4 der reihe Nach einsetze, kann ich erkennen, wie viele Sprünge vom Negativen ins Positive, bzw. umgekehrt die Funktion aufweißt... und ich muss die Nullstellen ja nicht bestimmen, sondern nur wissen, wie viele es sind...
*gerade drauf gekommen bin* ^^
Hm, kA, ob man das so verallgemeinert sagen kann, weil ja theoretisch auch drei Nullstellen zwischen 0 und 1 z.B. liegen könnten, dann hättest du nur einen Sprung, aber drei NS. Aber gut möglich, dass genauer betrachtet man zeigen kann, dass dafür ein höherer Grad notwendig ist...
Also die Beispielfunktion von Wikipedia, die ich vorher gepostet hatte... blabla/20 ... da kann ich mir den 20er Wegdenken, weil nur der Nenner zählt, oder wie?
*Nicht sicher bin*
Nein, in dem Fall nicht, weil hinter dem durch 20 geteilten Polynom ncoh eine +2 steht. Erst wenn du wirklich rein zwei Polynome durcheinander teilst kannst du das so machen. (wie gesagt, glaube ich, hab keine Lust mir Beweis oder Gegenbeispiel zu überlegen ;) )
Also eine Funktion mit Hausnummer 5^x oder e^x hat keine Nullstelle.
Und eine Funktion mit ln(x) oder log(x) hat genau eine Nullstelle.
Stimmt das so? Oder habe ich das missverstanden?
Jupp. Und alle Logarithmusfunktionen (egal zu welcher Basis) haben ihre Nullstelle bei 1 (liegt daran, dass a^0 = 1 für alle a gilt). -
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