1,0 = 0,9999999999.... ???
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Hallo,
Ich hab mal eine Frage und möchte gerne viele Antworten dazu hören ;D .
Mein Bruder kommt heute von der Schule und erzählt mir, dass sie eine Verträtungsstunde bei einem Mathelehrer hatten. Er stellt mir eine Frage :
" Ist direse Gleichung richtig ?" ( aber halt anders formuliert ... )
1,0 = 0,9999999999....
"Nein, weil die 1 größer ist als o, periode 9 . "
Dann zeigt er mir das:
1/9 = 1 : 9 = 0,111...
2/9 = 2 : 9 = 0,222...
3/9 = 3 : 9 = 0,333...
4/9 = 4 : 9 = 0,444...
5/9 = 5 : 9 = 0,555...
6/9 = 6 : 9 = 0,666...
7/9 = 7 : 9 = 0,777...
8/9 = 8 : 9 = 0,888...
9/9 = 9 : 9 = 0,999... = neun-neuntel = 1 ( also 0,999... = 1,0 )
Meiner Meinung nach, hat der Lehrer einen Fehler gemacht.
9 : 9 ist 1 und nicht 9 : 9 = 0,9999....
Was meint ihr dazu ???
Beitrag geändert: 25.11.2008 17:44:29 von handynet -
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-
Ich persönlich denke auch, dass 1 ungleich Null, Periode 9.
Aber mein Lehrer erklärte es mir folgendermaßen:
1/3 = 0, periode 3
2/3 = 0, periode 6
0, periode 3 + 0,periode 6 = 0, periode 9
1/3 + 2/3 = 1
;) -
ja das find ich irgentwie merkwürdig , du hast ja recht , aber 9:9 ist ja auch 1
Dazu hab auch eine lustige aufgabe :
3 Jungs wollen einen Ball kaufen.
Der Ball Kostet 30 Euro.
Jedes Kind bezahlt 10 Euro.
Als die Kinder weggehen,bemerkt der chef,dass die Kinder zu viel bezahlt haben und der Ball nur 25 Euro kostet.
Der Chef schickt einen Mitarbeiter los um den Kindern 5 Euro zurückzugeben.
Da man aber 5 Euro nicht durch 3 teilen kann,behält der mitarbeiter 2 Euro und gibt dann jedem Kind 1 Euro.
Das heisst jedes Kind hat 9 Euro bezahlt.3 mal 9 sind 27 plus die 2 Euro vom Mitarbeiter macht 29.
Jetzt bleibt die frage wo bleibt der eine euro??#
viel spass ;) -
Das ist ein typisches Mathematisches Problem.
1 == "0, Periode 9"
aber:
1 != 0,9999999999999999999999 (da unendlich viele 9 kommen würden)
Das liegt am Dezimalsystem, das soetwas nur nicht darstellen kann.
Eine einfache rechnung:
(1/3) * 3 = 3/3 = 1 (0, Periode 3) * 3 = 0, Periode 9 = 1
Das ist zweimal exakt die gleiche Rechnung.
=> Um soetwas zu vermeiden immer mit Brüchen rechnen
Gruß, Prog -
Diese Aufgabe (die 1.) hatten wir auch mal in der Schule, ist aber schon ewig her.
Das ist so eine Unstimmigkeit in der Mathematik.
Erklären kann ich mir es nur durch die Regel des Rundens. 0.999999999999999999 gerundet ist 1.
Der Taschenrechner rundet alles, weshalb 9/9=1
Zur 2. Aufgabe:
Jeder Junge hat 9 Euro bezahlt. Das macht 27 Euro.
Der Mitarbeiter hat 2 Euro.
Der Ball kostet aber 25 Euro.
Also ist die Rechnung: 3x9-2=25 (und es stimmt!;)) -
Hä? warum muss man man da auf 30 kommen?
Der neue Preis ist ja 25 also... 3*9=27 und dann MINUS die 2 vom Mitarbeiter = 25
oder?
ok :) jocko war schneller :)
Beitrag geändert: 25.11.2008 18:05:55 von singen -
Völlig richtig 9/9 (neun neuntel) sind nichts anderes als neun geteilt durch neun und neun geteilt durch neun sind 1 und nur eins, dass ist ja das schöne an der Mathematik, dass es keine Unklarheiten gibt.
Wenn Du anfängst Lehrer zu hinterfragen solltest Du Dich aber warm anziehen und Dich auf den kampf mit Göttern einrichten und wenn Du dachtest Dein Arzt wäre bigott... Ärzte sind da nur ehrlicher- Lehrer dagegen sind verschlagener wie Aale, Du kriegst sie einfach nicht zu packen.
Gehört vielleicht nicht hierher, aber ich erinnere mich noch sehr gut an meinen Latein Lehrer Alsheimer Alves, der mir mit einem angestrichenen Rechtschreibfehler und einem Kommafehler eine Vier begründete und an (den angeblichen) Mathelehrer Herrn Rolfes, der nachdem so ziemlich alle Schüler fünfen und sechsen geschrieben hatten (außer mir- "drei"), einfach die Aufgaben weggestrichen hatte, die die wenigsten Schüler bearbeitet hatten.
Ich, der ich alle Aufgaben nach der Reihe erledigt hatte verlor somit und die, die die leichten Aufgaben zuerst gemacht hatten gewannen- hätte er die Aufgaben weggestrichen, die ich nicht erledigt hatte hätte ich eine eins so hatte ich plötzlich eine fünf.
Also wenn Du jetzt anfängst zu hinterfragen und in den Krieg ziehst: verschwende Deine Zeit nicht im Rektorzimmer sondern geh gleich zur Amtsaufsicht und schreib alles ganz genau auf.
Viel Kraft- den Glück, Logik oder Ehre wirst Du in diesem Kampf vermissen, ich zähle auf Dich Soldat -
Hä? warum muss man man da auf 30 kommen?
Du hast genau richtig gedacht!
Der "Trick" dieser Aufgabe ist, dass viele(wenn man die Aufgabe so liest, wie sie formuliert wurde) denken, dass es nicht geht und fragen sich tatsächlich, wo der eine Euro geblieben ist.
-
die haben aber ja alle 10 Eure gegeben !
-
argh handynet ich bin am verzweifeln obwohl ich genau sehe dass eine der aussagen nicht stimmten kann...
Aber zum Thema, ja 0, periode 9 = 1
0,33333333333333333333...
+ 0,66666666666666666666...
= 0,99999999999999999999...
und wie oben ja schon erwähnt, wenn man mit dritteln rechnet kommt 1 raus
Beitrag geändert: 25.11.2008 18:11:50 von projektverwaltung
Beitrag geändert: 25.11.2008 18:12:24 von projektverwaltung -
handynet schrieb:
die haben aber ja alle 10 Eure gegeben !
Ja genau. Mach es so. Zähl alles, was gegeben wurde positiv und alles was jemand bekommen hat(Chef ausgenommen) negativ.
Dann kommst du auf 3mal 10- 3mal 1 -2 und dies gibt tatsächlich 25, wie viel der Ball schlussendlich gekostet hat.
Beitrag geändert: 25.11.2008 18:12:22 von jocko -
die haben aber ja alle 10 Eure gegeben !
Ja und 3€ wieder bekommen und 2€ gingen an den Mitarbeiter... 10*3-3-2=25, dür einen ball der 25€ kostete....
Edit:
Bin zu langsam...
Beitrag geändert: 25.11.2008 18:13:32 von dopeguys -
Es ist aber vollkommen das Selbe (wir hatten das auch schon in der schule):
das ist nämlich so:
wenn 0.9999999... und 1 ungleich WÄREN, dann müsste zwischen diesen
beiden Zahlen irgendwelche anderen zahlen liegen.
Aber das ist nicht der Fall (es liegt nämlich nicht eine einzige noch so kleine
Kommazahl zwischen 0.9999999... und 1).
Das zweite Argument ist natürlich 9:9 = 1, und das sollte es natürlich beweisen.
3 Jungs wollen einen Ball kaufen.
Der Ball Kostet 30 Euro.
Jedes Kind bezahlt 10 Euro.
Als die Kinder weggehen,bemerkt der chef,dass die Kinder zu viel bezahlt haben und der Ball nur 25 Euro kostet.
Der Chef schickt einen Mitarbeiter los um den Kindern 5 Euro zurückzugeben.
Da man aber 5 Euro nicht durch 3 teilen kann,behält der mitarbeiter 2 Euro und gibt dann jedem Kind 1 Euro.
Das heisst jedes Kind hat 9 Euro bezahlt.3 mal 9 sind 27 plus die 2 Euro vom Mitarbeiter macht 29.
Jetzt bleibt die frage wo bleibt der eine euro??#
viel spass ;)
ääm, jetzt muss ich mal nachdenken
... ...
der fehler ist da:
Das heisst jedes Kind hat 9 Euro bezahlt.3 mal 9 sind 27 plus die 2 Euro vom Mitarbeiter macht 29.
Es muss heißen:
Jedes kind hat 9 euro gezahl. 3 mal 9 sind 27 MINUS 2 euro von mitarbeiter = 25, soviel hat der ball gekostet. :P
-
ah ok, ich glaube ich beginne zu begreifen ;) ganz schön böses rätsel
-
und wie oben ja schon erwähnt, wenn man mit dritteln rechnet kommt 1 raus
Aber sieh mal folgendes an;)
3/9 + 3/9 + 3/9 = 9/9 (nach deiner Theorie "man soll mit Brüchen rechnen" kommt 1 heraus, aber schaut man zuoberst gibt es 0.99999999999999);)
Naja,
Da könnte man noch endlos diskutieren;)
Beitrag geändert: 25.11.2008 18:27:09 von jocko -
achso..... lol
ich dachte das geht so .... :
Die Kinder haben den Ball (25€) und jeweils ein Euro.
Sie haben zu dem Zeitpunkt zwar 9€ bezahlt ABER 3€ IN BAR UND 25€ DURCH DEN BALL, der nämlich jedem Kind ein Anteil von 8 1/3€ zugesteht + jeweils 1€ = 9 1/3€. 3 mal 9 1/3 = 28€.
Also :
Der 1€ steckt im Wert des Balles, da dieser jedem Kind 8 1/3€ (oder 25/3€) Wert gibt + den 1€ von Mitarbeiter. -
Wer hat nur den Schwachsinn erfunden mit 3/9 = 0,3333333 -.-.
10/3 ist ja auch 3,333333333
Periode heißt es das die tatsächliche Zahl nicht zuende zu schreiben ist, da sie kein Ende hat und immer mehr 3en 6oder 9en oder was auch immer angehängt werden müssten um die tatsächliche Zahl zu erreichen.
Daher ist die Zahl 3,3333.... * 3 gerechnet auch nicht 9,9999999999 sondern 10. Da die Zahl nie zuende geschrieben werden kann ist die nächste Zahl hintendran immer zwischen 9 und 10. Die Tendenz zu 10 ist dabei 9, periode 9, daher eine Rekursion auf sich selbst.
Tatsache ist aber auf jedenfall das die nächste Stelle extrem viel "näher" an der 10 ist.
Das lässt sich zwar nun endlich weiter durch rekursion eingrenzen. Und dabei kommt 1 der 1 immer näher je genauer man es definiert.
Natürlich ist das schwachsinn, da 1 ja schon 1 ist und ein richtige Beweis ist's auch nicht, aber eine Erklärung warum 0, periode 9 = 1 ist. -
Okay, es ist DEFINITIV 0,9999999.... = 1
Ich hab den Beweis mal hochgeladen:
http://merovius.lima-city.de/proof.png
der Beweis setzt Wissen um Reihen voraus, speziell:
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
[edit] Übrigens: Seh gerade, da steht ein Malzeichen in der summe, das ist ein Fragment, gehört da nicht hin - bin nur zu faul, den ganzen Kram nochmal rendern zu lassen.
[edit2] Die ganze Verwirrung stammt übrigens daher, dass q-adische Darstellungn von Bruchteilen nun einmal nicht i.A. eindeutig sind. Das selbe Phänomen lässt sich bei der binärdarstellung von 1/2 finden, denn
(1/2)_2 = 0,100000..... = 0,0111111111....
Und mit so ziemlich jeder Basis.
Beitrag geändert: 25.11.2008 20:02:50 von merovius -
Wir haben ja
0.9999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...
= 9/10 + 9/10² + 9/10³ + ...
= 9*(1/10 + 1/10² + 1/10³ + ...)
mal (1 - 1/10) und gleich wieder durch (1 - 1/10) teilen ;)
= 9*(1 - 1/10)*(1/10 + 1/10² + 1/10³ + ...)/(1 - 1/10)
ausmultiplizieren:
= 9*(1/10 + 1/10² + 1/10³ + .... - 1/10² - 1/10³ - ...)/(1 - 1/10)
alle Glieder außer 1/10 fallen weg
= 9*(1/10)/(9/10) = 1
etwas unsauber, da man mit unendlichen Reihen eigentlich nicht so rechnen darf, aber das Prinzip stimmt.
-
Unser Mathelehrer hat uns diese Frage auch mal gestellt. Beantwortet hat er sie selbst allerdings nicht so richtig. Also ich meine es ist logisch, dass 0,9 Periode auch 1 sein muss, der Grund wurde hier ja schon des öfteren genannt.
Der Knackpunkt ist meines Wissens nach, dass es eben keinen mathematischen Beweis gibt. Mein Mathelehrer hat sogar sowas gesagt, dass es ein Institut gibt, die dir eine Millionen Euro für den Beweis zahlen. Zumindest habe ich sowas im Hinterkopf. Daher würde ich mich eher dafür hüten zu sagen, dass ist so richtig und so nicht ;)
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