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Winkel zwischen Raumdiagonalen im Quader

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1. Autor dieses Themas

   sy

   

   sy hat kostenlosen Webspace.

   15:25, 17.5.2012

   Hallo,
   ich hab eine Matheaufgabe und wollte gern wissen, ob die Lösung und der Weg richtig sind.
   
   Gegeben ist ein Quader mit den Kantenlängen a = 8,5cm; b = 4,2cm; c = 5,9cm.
   Gesucht sind die Größen der Winkel zwischen Raumdiagonalen.
   
   Die Raumdiagonale(n) d = sqrt(a^2+b^2+c^2) = 11,2cm.
   Dadurch, dass sich die Diagonalen schneiden entstehen anscheinend gleichschenklige Dreiecke.
   Wenn ich jetzt eine Höhe einzeichne, kann ich den halben Winkel berechnen, also:
   
   sin (α/2) = (a/2) : (d/2) = 4,25cm : 5,6 cm = 0,753
   Daraus folgt sin ^-1 (0,753) = 48,9° = α/2
   Daraus folgt α = 98,8°
   
   sin (β/2) = (b/2) : (d/2) = 2,1cm : 5,6cm = 0,375
   Daraus folgt sin ^-1 (0,375) = 22,0° = β/2
   Daraus folgt β = 44,0°
   
   sin (γ/2) = (c/2) : (d/2) = 2,95cm : 5,6cm = 0,527
   Daraus folgt sin ^-1 (0,527) = 31,8° = γ/2
   Daraus folgt γ =63,6°
   
   Stimmt das soweit?
   
   

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3. darkpandemic

   

   darkpandemic hat kostenlosen Webspace.

   20:11, 17.5.2012

   Hallo sy,
   
   ich gebe zu ich war jetzt zu faul das alles zu Fuß nachzurechnen. Aber Wolfram Alpha sagt 88.4°, 71.7° und 37.6°. Dabei habe ich mir die Winkel zwischen den Richtungsvektoren berechnen lassen.
   
   Edit: Die 88.4° kommen mir doch recht spanisch vor, ich werde es wohl doch lieber mal zu Fuß rechnen. Ein bisschen Geduld bitte.
   
   Edit 2:
   Erstmal mein Rechenweg:
   1. Berechne die Länge der Diagonalen in den Seitenflächen (Pythagoras):
   
   sqrt(a*a+b*b) = 9,48
   sqrt(a*a+c*c) = 10,35
   sqrt(b*b+c*c) = 7,24
   
   Jeweils die Hälfte davon entspricht der Länge der Gegenkathete, die Ankathete (Höhe) ist die Hälfte der nicht verwendeten Länge. Damit kann man den Winkel zwischen Höhe und Raumdiagonale mittels Arcustangens berechnen (die jeweilige Division durch zwei habe ich rausgekürzt):
   
   atan(9.48/5.9) = 58.1°
   atan(10.35/4.2) = 67.9°
   atan(7.24/8.5) = 40,4°
   
   Da der Winkel zwischen den Raumdiagonalen aber auf der anderen Seite der Hypothenuse liegt muss man obige Winkel von 90° abziehen. Das ist dann die Hälfte der Raumwinkel. Als Ergebnis bekommt man also:
   
   2*(90°-58.1°) = 63.8°
   2*(90°-67.9°) = 44.2°
   2*(90°-40,4°) = 99,2°
   
   D.h. bis auf Rundungsfehler (auf meiner Seite) sind Deine Ergebnisse und damit auch Dein Lösungsweg richtig.
   
   
   Beitrag zuletzt geändert: 17.5.2012 20:49:28 von darkpandemic
4. Autor dieses Themas

   sy

   

   sy hat kostenlosen Webspace.

   20:42, 17.5.2012

   Okay, danke, dass du mir hilfst.
   Hast du denn an meinem Ansatz einen Fehler gesehen? Und wie kannst du denn sagen, dass die 88° eher nicht stimmen könnte?
   Jedenfalls soll ich die Aufgabe mit sin, cos, tan usw lösen.

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