Volumenintegral
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rho
stichwort
zylinder
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Hallo,
von einem Volumenintegral hab ich noch nie mehr als den Namen und das Symbol gesehen.
Also, folgende Aufgabe:
Die Dichteverteilung eines Zylinders mit länge l/radius r sei gegeben durch n(rho, z)=z^2/rho
Berechnen Sie die Masse, falls der Kordinatenurspr. in der Mitte des Zylinders sitzt.
danke!
gruss
fab -
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Ohne jetzt zu formal zu werden mit Zylinderkoordinaten o. ä. würde ich die Aufgabe so lösen:
Zuerst müssen wir den Zylinder in infinitesimal hohe Kreissscheiben zerlegen: r² π dz
Diese Kreisscheiben zerlegen wir dann nochmal in infinitesimal dicke Kreisringe:
2 π ρ dρ
Wir integrieren das mal der Dichteverteilung über ρ:
r
∫ n(ρ,z) 2 π ρ dρ =
0
r
∫ z²/ρ 2 π ρ dρ =
0
r
∫ z² 2 π dρ = 2 π r z²
0
dieses Ergebnis (Kreisscheiben) integrieren wir noch über z:
l/2
∫ 2 π r z² dz = 2/3 π r (l/2)³ - ( 2/3 π r (-l/2)³ =
-l/2
2/3 π r l³/8 + 2/3 π r l³/8 = 1/6 π r l³
Beitrag geändert: 17.10.2007 22:03:09 von cga -
Ok, rho == meistens die Konstante, die die Dichte angibt.
Hier kann das aber unmöglich so gemeint sein, da die Dichtefunktion n von rho abhängt und rho auch im Nenner steht (=>
).
Daher habe ich mal angenommen, dass rho sowas wie den Radius angibt (so wird rho ja auch häufig verwendet, Stichwort Zylinderkoordinaten).
Und ja, es wäre weniger verwirrend geworden, wenn man statt rho ein r verwendet hätte und statt r ein R.
ttobsen schrieb:
Nein du hast dich nicht verlesen
Irgendwie kann das nicht stimmen. Du bekommst ein Ergebnis mit der Einheit m^4 herraus oder hab ich mich jetzt total verlesen?
das Ergebnis ist tatsächlich die vierte Potenz einer Länge. ABER das ist Mathe und nicht Physik ^^ da übersieht man großzügig was für eine Dimension das Ergebnis hat.
Ich hätte es schöner gefunden, wenn in der Formel
n(ρ,z) = z²/ρ
noch eine Konstante drin wäre, die das ganze ausbügelt.
n(ρ,z) soll schließlich eine Dichte (kg/V) sein, also wäre in einer physikalischen Formel noch eine Konstante der Dimension kg / m^4 zu finden.
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Daher habe ich mal angenommen, dass rho sowas wie den Radius angibt (so wird rho ja auch häufig verwendet, Stichwort Zylinderkoordinaten).
richtig :)
aber in deinem Reultat hats irgendwo nen Rechenfehler drin, da das offizielle Resultat kein bruch durch 6, sondern durch 3 ist.
Deine Herleitung hab ich soweit verstanden, danke!
(wie kriegt ihr so schöne formeln hin im Forenbeitrag?)
Beitrag geändert: 18.10.2007 21:27:04 von fab -
Aber mal so ne Frage am Rande: Ist die Dichteverteilung jetzt ein Maß welches über V integriert die Durchschnittsdichte (wenn man das so formulieren darf) m/V angibt, oder ist die Dichteverteilung schon selber die Dichte als Funktion des Ortes?
Also Dichteverteilung = Dichte als Funktion des Ortes. Wir integrieren über die Dichteverteilung und bekommen als Ergebnis die Masse des Zylinders.
Wenn wir die Dichte erst durch das Integrieren bekommen würden, müssten wir ja nochmal mit dem Volumen mal nehmen.
Kann es sein das in dem anderen Resultat dann von 0 bis l und nicht von -l/2 bis l/2 integriert wurde? In der Aufgabe stand jedoch das der Koordinatenursprung in der Mitte des Zylinders liegen soll.
könnte sein:
Wenn ich von 0 bis l integriere kommt 2/3 π r l³ raus.(wie kriegt ihr so schöne formeln hin im Forenbeitrag?)
Ja, das ist Unicode
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