Taylor-Reihe
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Hallo,
ich habe hier in meinem Buch stehen, dass wenn die Taylor-Reihe zu einer Funktion f für bestimmte x-Werte konvergiert, sie dann auch die Funktion f an diesen x-Werten exakt (d. h. beliebige Genauigkeit kann erreicht werden) approximiert.
Ich bin fast 100%-ig sicher, dass das falsch ist.
Wenn ich mir z. B. die Funktion:
anschaue, dann ist die n-te Ableitung an der Stelle x = 0 immer gleich 0. Also ist auch die Taylorreihe entwickelt um 0 immer nur 0 für jedes x, das man einsetzt.
Die Taylorreihe konvergiert also für jeden x-Wert, aber die Funktion selbst ist außer für x = 0 nirgends Null.
Also kann die Taylorreihe zu einer Funktion durchaus konvergieren, muss aber trotzdem nicht die Funktion exakt approximieren.
Wär schön, wenn das jemand bestätige könnte!
Vielen Dank im Voraus für jede Hilfe! -
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Meines Wissens ist es sogar die Definition von "Analytisch".
Eine Funktion ist analytisch, wenn sie exakt in eine Taylorreihe entwickelbar ist.
Vielleicht wurde sich in dem Buch auf analytische Funktionen bezogen? -
@ttobsen: Mir ist klar, dass es nicht analytische Funktionen gibt. Deine Funktion (bzw. die bei Wikipedia als Beispiel angegeben ist) ist aber analytisch, nur eben halt auf dem Gebiet
und nicht auf ganz
.
Es geht darum, dass in dem Buch behauptet wird, dass man herausfinden kann wo eine Funktion analytisch ist, indem man sich anschaut, wo die Taylorreihe konvergiert. Das ist klar falsch, die Taylorreihe kann muss ja nicht gegen den Funktionswert konvergieren. Bleibt also die Frage: Wie findet man es denn dann heraus? -
Hallo, ich habe hier in meinem Buch stehen, dass wenn die Taylor-Reihe zu einer Funktion f für bestimmte x-Werte konvergiert, sie dann auch die Funktion f an diesen x-Werten exakt (d. h. beliebige Genauigkeit kann erreicht werden) approximiert.
Also für mich ist dieser Satz ziemlich allgemeingültig, da er ja lediglich aussagt das die Reihenentwicklung an einer Stelle an der sie konvergiert diese auch approximiert, also sich annähert... eine beliebige Genauigkeit heißt ja nur das die entsprechende Anzahl an Summanden vorhanden sein muss (auch unendlich viele ... was zwar nicht realisierbar ist aber dennoch korrekt). -
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