Suche Verfahren zur Umrechnung von Ebenendarstellungen.

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lei

lei hat kostenlosen Webspace.

14:43, 16.4.2009
Hallo liebe Mathematiker

Ich habe folgendes Problem: Ich suche einfache (und einfach merkbare) Verfahren unterschiedliche Ebenendarstellungen (Parameterform, Normalenform, Gleichungsform) ineinander umzuformen.
Also Parameterform -> Normalenform
Parameterform -> Gleichungsform
Normalenform -> Gleichungsform
...

Danke im Voraus!
Lei
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~~m******s~~

17:20, 16.4.2009

Also Parameterform -> Normalenform

Hm, das einfachste ist eigentlich, Zuerst in Normalenform zu bringen und dann nach nachfolgendem Verfahren zurück umformen. Die Normalenform erhälst du mit
$Formel: \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$
Und nen Stützvektor hast du ja auch schon gegeben.

Parameterform -> Gleichungsform

Am einfachsten obiges Verfahren und dann nachfolgendes Verfahren.

Normalenform -> Gleichungsform

Einfach ausmultiplizieren:

$Formel: \left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0$
$Formel: \Leftrightarrow n_1x_1 + n_2x_2 + n_3 x_3 = p_1n_1 + p_2n_2 + p_3n_3$

anders ausgedrückt: Die Komponenten deines Normalenvektors sind die Koeffizienten deiner Gleichung. Das Skalarprodukt aus Stützvektor und Normalenvektor ist dann deine rechte Seite.

Beitrag zuletzt geändert: 16.4.2009 17:28:27 von merovius
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lei

lei hat kostenlosen Webspace.

23:06, 16.4.2009
Danke für die Antwort, merovius!
Ich weiß allerdings immer noch nicht, wie ich ohne viel Aufwand von der Gleichungsform in Normalen- und Parameterform umrechnen kann. In der Schule haben wird das immer recht zeitraubend mit Schnittpunkten mit dem Koordinatensystem gemacht und das frißt relativ viel Zeit bei einer Klausur. Gibt es eine einfachere Methode?
~~m******s~~

2:06, 17.4.2009
Den Normalenvektor erhälst du als Koeffizienten deiner Koordinaten. Einen Stützvektor kannst du so erhalten: von den Koordinaten deines Normalenvektors ist mindestens eine Koordinate nicht null, sagen wir mal o.B.d.A. $Formel: n_1$ . Nun nimmst du den dazugehörigen Einheitsvektor und skalierst ihn um den Faktor $Formel: \frac{d}{n_1}$ , wobei $Formel: d$ der Term ist, der hinter dem Gleichheitszeichen steht. Also mal konkret:
$Formel: ax_1 + bx_2 + cx_2 = d$
$Formel: \vec n := \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$
Angenommen $Formel: a \neq 0$ .
$Formel: \vec p := \begin{pmatrix} \frac{d}{a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Deine Normalenform ist dann:
$Formel: E: \(\vec x - \vec p)\cdot \vec n = 0$

Von der Koordinatenform (hieß die bei uns, bei euch ist das offenbar die Gleichungsform) in die Parameterform kommst du am besten, indem du zuerst die Normalenform ausrechnest, wie oben, und dann folgendes Verfahren anwendest, um zu der Normalenform zu kommen:

Wir brauchen drei Fälle:
1. Fall: Eine der Koordinaten von $Formel: \vec n$ ist 0. In dem Fall ist (z.B.):
$Formel: \vec n = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ 0 \end{pmatrix}$
Setze dann
$Formel: \vec u = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
$Formel: \vec v = \begin{pmatrix} n_2 \\ -n_1 \\ 0 \end{pmatrix}$
Diese Vektoren sind wie sich leicht sehen lässt linear unabhängig und orthogonal zum Normalenvektor, stellen also valide Richtrungsvektoren dar.

2. Fall: Zwei Koordinaten von $Formel: \vec n$ sind 0. In dem Fall ist (z.B.):
$Formel: \vec n = \begin{pmatrix} n_1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Setze
$Formel: \vec u = e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
$Formel: \vec v = e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. Fall: Keine Koordinate ist von $Formel: \vec n$ ist 0.
$Formel: \vec n = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$
Setze
$Formel: \vec u = e_2 = \begin{pmatrix} n_2 \\ -n_1 \\ 0 \end{pmatrix}$
$Formel: \vec v = e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ n_3 \\ -n_2 \end{pmatrix}$

Eine einfacherere Möglichkeit fällt mir nicht ein...

Anmerkung
Nur mal so ein Disclaimer: Diese Verfahren die ich nenne sind imho sicher, aber 1. kanns sein dass sie falsch sind (glaub ich nich, aber wer weiss), 2. solltst du dir in der Klausur überlegen, ob du wirklich ein nicht bekanntes Verfahren anwenden willst. Dafür können dir nämlich Punkte abgezogen werden.
Wenn du geschickt bist, führst du diese Verfahren während des Unterrichts ein und begründest sie, dann sollte das hinhauen...

Beitrag zuletzt geändert: 17.4.2009 2:08:05 von merovius
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