Senkrechte Tangenten einer Funktion
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Hallo,
ich habe hier eine Matheaufgabe, bei der ich nicht wirklich weiß, wie ich vorgehen muss, da ich krank war.
Wäre toll, wenn die mir jemand erklären könnte:
Für welche t ∈ R hat das Schaubild in den Schnittpunkten mit der x-Achse Tangenten, die orthogonal (senkrecht) zueinandersind?
a) f(x) = t*(x² - 5x +4)
b) f(x) = x² - 4*t*x + 3*t²
Mir fehlt jetzt der Ansatz, ich weiß nur dass man für ein gegebenes x1 die Tangente in diesem Punkt der Funktion mit
t(x) = f '(x1) * (x - x1) + f(x1) berechnen kann. -
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Also ich betrachte erstmal die Funktion von a), ich denke aber mit einem ähnlichen Verfahren kann man auch b) lösen.
Wir haben also die Funktion f(x) = t(x^2-5x+4) = t(x-4)(x-1). Die Ableitung ist f'(x)=2*t*x-5*t = t*(2x-5)
Als erstes sehen wir also, dass unsere beiden Nullstellen (also die Schnittpunkte mit der x-Achse für alle t gleich sind, nämlich x1 = 1 u x2 = 4. Damit können wir schon unsere beiden Tangentenfunktionen bestimmen:
t1(x) = (2*t*x1 - 5t)(x - x1) + f(x1) = (-3t)(x-1) = -3*t*x1 + 3t (da f(x1) = f(x2) = 0)
und t2(x) = 3tx -12t
Nun müssen wir nur noch bestimmen, für welche t diese beiden Funktionen rechtwinklig (=orthogonal) zu einander sind, bzw. wo sich die beiden Punkte schneiden.
Die Orthogonalität zweier Geraden lässt sich am leichtesten über das Skalarprodukt bestimmen.
Dazu überführen wir unsere beiden Geraden also ersteinmal in die Parameterdarstellung:
T1: (1,0) + x * ( 3/2 , -3/5*t) , T2: (4,0) + x * (-3/2 , -3/5*t)
Das Skalarprodukt wäre nun: 3/2*-3/2 + (-3/5 * t)^2. Für Orthogonalität muss dieses 0 sein,
also -9/4 + -9/25*t^2 = 0. Diese Gleichung kann man nun recht schnell lösen und erhält 2 t.
Für die Richtigkeit garantiere ich allerdings nicht 100%, selber rechnen hilft weiter ;)
Gruß
aliendwarf -
Danke erstmal für deine Antwort. Leider haben wir sowas wie Skalarprodukt noch nicht behandelt.
Für die erste Aufgabe hab ich jetzt auch eine Lösung.
Damit die Tangenten senkrecht zueinander sind muss ja für deren Anstiege gelten
m1 * m2 = -1
Den Tangentenanstieg ist ja gleich der 1. Ableitung mit den Nullstellen als x-Wert.
In diesem Fall kann man die Nullstellen auch berechnen und t außer Acht lassen (anscheinend weil durch die Termstruktur. Man setzt y=0 also 0 = t * (x² - 5x + 4). Wenn jetzt x² - 5x + 4 null wird, wird der gesamte Ausdurck null, also kann man davon die Nullstellen berechnen.
Man kommt auf x01 = 4 und x02 = 1
Nun kann man für x = 4 bzw. 1 den Tangentenanstieg mit der 1. Ableitung berechnen
f '(4) = t(2*4-5) = 3*t = m1
f '(1) = t(2-5) = -3*t = m2
Nun muss der Parameter t bestimmt werden, denn es muss ja gelten m1 * m2 = -1
Also 3t * (-3t) = -1
9*t² = 1
t² = (1/9)
t = |1/3| = +- (1/3)
Damit ist die eigentliche Frage gelöst.
Dadurch entstehen zwei Funktionen für die man jeweils zwei Tangenten mit der bekannten Formel t(x) = f '(x1) * (x-x1) + f(x1) berechnen kann und so komme ich für f(x) mit t = +1/3 auf
t1 = x - 4 und
t2 = -x + 1
und für g(x) mit t = -(1/3) kommt man auf
t1 = -x + 4 und
t2 = x - 1
Für die zweite Aufgabe aber kann ich ja die Nullstellen nicht ohne das t berechnen weil die Termstruktur das nicht zulässt. Hier hab ich deswegen keine Idee.. -
Du kannst aber die Nullstellen abhängig von t berechnen (ich hab die ausgabe aus Jux mal angefangen zu rechnen)
Und damit kann man dann weiter arbeiten und am Ende kommt wieder was raus...
Dein Ansatz ist natürlich auch korrekt, war auch mein erster Ansatz, das ihr kein Skalarprodukt hattet bis jetzt, wusste ich natürlich nicht.
Gruß
aliendwarf
-
Ich konnte mir damals alles besser bildlich vorstellen und hab dazu immer folgende Homepage genutzt.
Viel Erfolg!
http://funktion.onlinemathe.de/ -
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