pq-Formel, kleine Frage dazu
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auszug
beispiel
eingegebenen formel
einsetzen
folgendes problem
formel
gleichung
hirn
idee
machen
markierung
normalform
nutzen
pos
quadrat
quadratische gleichung
stehen
wurzel
zweite fett markierte stelle
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Hallo!
Ich habe folgendes Problem
(Auszug aus dem Proggi von www.arndt-bruenner.de mit einer von mir eingegebenen Formel):
Standardform der Gleichung:
3x² - 6x - 9 = 0 | : 3
x² - 2x - 3 = 0
Die Normalform der Gleichung ist x² - 2x - 3 = 0
Lies p als Faktor vor dem x ab: p = -2
Berechne p/2 = -1 sowie (p/2)² = 1
Die Konstante links muß (p/2)², also 1, sein, daß die linke Seite
als Binom geschrieben werden kann.
x² - 2x - 3 = 0 | + 4 (damit links + 1 steht)
x² - 2x + 1 = 4 | als Binom schreiben
(x - 1)² = 4 | Wurzeln ziehen
x - 1 = ±Sqr(4)
x - 1 = ±2 | + 1
zwei Lösungen:
x = -1
oder
x = 3
Es geht um das fett Markierte,
ich verstehe bei der erste Markierung nicht,
warum man dafür sorgen muss, dass das q positiv sein muss?
Die zweite fett markierte Stelle, wieso als Binom schreiben,
gibt es ab da auch andere Alternativen?
Gruß,
Garlian -
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Was man hier macht ist eigentlich nicht p-q-Formel, sondern quadratische Ergänzung. Dies ist das Lösungsverfahren aus welchem sich p-q-Formel und Mitternachtsformel herleiten. Die Idee: Jede quadratische Gleichung sieht ja irgendwie einer binomischen Formel ähnlich. Das ist von Vorteil, weil man mit einer binomischen Formel das einfache Wurzelziehen als Lösungsansatz nutzen kann. Also rechne ich damit solange herum, bis ich diese Formel erhalte, ziehe dann die Wurzel (weil ja alle Quadrate jetzt außen stehen) und erhalte meine Lösungen. Angewandt auf dein Beispiel heißt das folgendes:
x² - 2x - 3 = 0
Überlegung:
- 2. Binomische Formel: a²-2ab+b² wollen wir auf der linken Seite erhalten (daher das pos. q)
- Daraus lässt sich ablesen: a² = x² -> a = x , 2ab = 2x -> 2b = 2 -> b = 1 -> b² muss 1 sein, damit meine Formel vollständig ist:
x² - 2x - 3 = 0 |+4
x² - 2x + 1 = 4 | binomische Formel umschreiben: a²-2ab+b² = (a-b)²
(x-1)² = 4 | Quadrat steht außen, was wurzelziehen ermöglicht
Ab da gehts dann wie in deinem Beispiel weiter.
Hergeleitet ist der letzte Summand (b²) bei dir über p-q-Formel, was ich allerdings unverständlicher finde, aber auch funktioniert.
Alternativ lässt sich p-q-Formel direkt anwenden:
Für x² + px + q = 0 gilt: x1/2 = -(p/2) +- sqrt( (p/2)² - q )
einfach p=-2 und q=-3 Einsetzen und fertig:
x1/2=-(-2/2)+- sqrt((-2/2)² - (-3))
x1/2= 1 +- sqrt( 1 + 3 )
X1 = 1 + 2 = 3
X2 = 1 - 2 = -1
Als 2. Alternative mag die Mitternachtsformel gelten:
Für ax² + bx + c = 0 gilt: x1/2 = ( -b +- sqrt ( b² - 4ac ) ) / 2a
a = 1, b = -2, c = -3 einsetzen:
x1/2 = ( -(-2) +- sqrt ( (-2)² - 4*1*(-3) ) ) / 2*1
x1/2 = ( 2 +- sqrt ( 4 + 12 ) ) / 2
x1 = (2 + 4)/2 = 3
x2 = (2 - 4)/2 = -1
€dit: Nach dem 8. Edit ist jetzt hoffentlich alles gut erklärt und richtig.... Manmanman ist irgendwie schon zu spät für mein Hirn
Beitrag zuletzt geändert: 14.12.2009 0:36:38 von alphara -
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