Nullstellenberechnung Funktionenschar

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sy

sy hat kostenlosen Webspace.

17:02, 7.1.2015
Mir ist eine Funktionenschar gegeben durch:

f[a](x) = a²x - ln x
(mit a, x > 0)

Ich soll nun zeigen, dass es genau eine Funktion f(x) gibt,
die genau eine Nullstelle hat.

Dazu müsst ich ja die Nullstelle irgendwie berechnen
y = 0
a²x = ln x

Wie kann man das lösen?
Zur Verfügung steht mir dabei nur ein graphischer Taschenrechner ohne CAS.

Danke!
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claushoffmann

claushoffmann hat kostenlosen Webspace.

23:03, 7.1.2015
Hi Sy

irgendwie iritiert mich das blöde a !!!

aber um nachzuweisen, das es nur eine Nullstelle gibt, muß man nachweisen, das die funktion streng monoton (steigend oder fallend) ist. 1. Ableitung der Funktion

... und ob es überhaupt eine Nullstelle gibt.

a²x - ln x = 0

oder wegen e^(ln(x)) = x

e^(a²x) = X -> e^(a²x) - X = 0

Sorry, mehr weiß ich auch nich mehr. Bin 55 und Abi ist lang,lang her :-)

Gruß Claus
hackyourlife

Moderator

hackyourlife hat kostenlosen Webspace.

0:15, 8.1.2015

sy schrieb:
Dazu müsst ich ja die Nullstelle irgendwie berechnen
y = 0
a²x = ln x

Wie kann man das lösen?
Versuche Folgendes:
$Formel: a^2 x = \ln x$
Ersetze $Formel: a^2$ durch $Formel: b$ , das macht es etwas einfacher:
$Formel: b \cdot x = \ln x$
Setzt du $Formel: e$ für $Formel: x$ und $Formel: \textstyle\frac{1}{e}$ für $Formel: b$ ein, so erhälst du
$Formel: \underbrace{\frac{1}{e} e}_1 = \underbrace{\ln e}_1$
Du hast also die einzige Nullstelle gefunden, bei
$Formel: a = \frac{1}{\sqrt{e}}, \; x = e$

Was dir noch zu tun bleibt: zeigen, dass es für dieses $Formel: a$ keine weitere Nullstellen gibt, und dass für jedes andere $Formel: a$ keine oder mehr Nullstellen (= nicht genau 1) existieren.

sy schrieb:
Zur Verfügung steht mir dabei nur ein graphischer Taschenrechner ohne CAS.
CAS würdest du da wozu brauchen? Um das Denken unterlassen zu können und eine fertige Lösung zu bekommen?

claushoffmann schrieb:
aber um nachzuweisen, das es nur eine Nullstelle gibt, muß man nachweisen, das die funktion streng monoton (steigend oder fallend) ist.
So, und was ist unsere geniale Funktion nun? Weder streng monoton steigend, noch streng monoton fallend
Eventuell wäre es sinnvoll
$Formel: \forall a, b \in \mathbb{R} : a > 0 \land b > 0 \land f(a) = 0 \land f(b) = 0 \to a = b$
nachzuweisen. Anders gesagt: a und b sind größer als 0; wenn es bei a und b eine Nullstelle gibt, dann muss a und b gleich sein.
gydinfag1415

gydinfag1415 hat kostenlosen Webspace.

18:10, 9.1.2015
Die Gleichung deiner Funktionenschar lautet: $Formel: f_a (x) = a^2 \cdot x - \ln (x)$ . Die Funktionen sind definiert für $Formel: x>0$ und der Scharparameter a darf nur positive Werte annehmen.

Du kannst dir überlegen, dass zum einen der Grenzwert für $Formel: x \rightarrow 0+$ und zum anderen der Grenzwert für $Formel: x \rightarrow +\infty$ gegen $Formel: \infty$ streben. D.h. alle Graphen der Schar kommen aus dem positiv Unendlichen und verschwinden auch wieder ins positiv Unendliche. (Für das Verhalten in der Nähe der 0 ist der zweite Sumand (mit dem Logarithmus) maßgeblich verantwortlich, für das Verhalten für große x-Werte dann der erste Summand.)

Da die Funktionen der Schar im Definitionsbereich überall stetig und differenzierbar sind, müssen alle Graphen der Schar jeweils (mindestens) einen Tiefpunkt besitzen. Die zugehörigen Tiefstellen können wir bestimmen, indem wir die Ableitung der Funktionenschar Null setzen und die Gleichung lösen, denn an diesen Stellen besitzen die Graphen der Schar eine waagerechte Tangente. Bestimmen wir also zunächst die Ableitungsfunktion(en):

$Formel: f_a' (x) = a^2 - \frac{1}{x}$ , setzen sie gleich Null: $Formel: a^2 - \frac{1}{x_{\mbox{tief}}}=0$ und erhalten: $Formel: x_{\mbox{tief}} = \frac{1}{a^2}$ .

Halten wir fest: Die Graphen der Schar besitzen jeweils nur einen Extrempunkt, nämlich einen Tiefpunkt, dessen x-Koordinate von a abhängt: $Formel: x_{\mbox{tief}} = \frac{1}{a^2}$ . Der Tiefpunkt kann oberhalb der x-Achse (in diesem Fall hat der entsprechende Graph keine Nullstellen) oder unterhalb der x-Achse (dann gibt es gleich zwei Nullstellen) liegen oder auf der x-Achse liegen. Nur in diesem dritten Fall gibt es genau eine Nullstelle des Graphen, die zudem mit der Tiefstelle zusammenfällt. Wenn wir also unsere Tiefstelle in die Gleichung der Kurvenschar einsetzen und diesen Term Null setzen, erhalten wir eine Gleichung für die Parameter a, die die geforderten Bedingungen erfüllen:
$Formel: f_a(x_{\mbox{tief}})= a^2 \cdot \frac{1}{a^2} - \ln \left(\frac{1}{a^2}\right) = 1- \ln \left(\frac{1}{a^2}\right)$
Also: $Formel: 1- \ln \left(\frac{1}{a^2}\right)=0 \Leftrightarrow 1= \ln \left(\frac{1}{a^2}\right) \Rightarrow e = \frac{1}{a^2} \Leftrightarrow a^2 = \frac{1}{e} \Rightarrow a = \sqrt{\frac{1}{e}}=\frac{\sqrt{e}}{e}$ .
Da für den Parameter a nur positive Werte eingesetzt werden dürfen, besitzt die Gleichung nur eine Lösung. Unser Ergebnis lautet also: Es gibt genau eine Kurve der Schar, nämlich die mit dem Parameterwert $Formel: a=\frac{\sqrt{e}}{e}$ , die genau eine Nullstelle besitzt.

Beitrag zuletzt geändert: 9.1.2015 18:35:04 von gydinfag1415
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