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Matrizen Parallelprojektion

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1. Autor dieses Themas

   dennisdoerr

   dennisdoerr hat kostenlosen Webspace.

   17:47, 27.11.2009

   Hey Leute
   also folgendes...ich mach ein freiwilliges Referat in Mathemaitk (LK) und nun wurde mir das Thema Parallelprojektion zugeteilt! Ich soll anhand der Matrix die vorgegeben ist nun mehrere verschiedene Beispiele für Schattenwürfe im Raum mit meinen Mitschülern rechnen. Nur weiß ich nicht woher diese Matrix kommt xD und ich bin nicht so gut im herleiten^^
   
   Könnt ihr mir helfen?
   
   Alles was gegeben ist, ist das:
   
   Eine Parallelprojektion in die x-y-Ebene zu einer Geraden mit Richtungsvektor v , v3 ungleich 0, hat die Abbildungsmatrix:
   
   1 0 (-v1/v3)
   0 1 (-v2/v3)
   0 0 0
   
   Ich kann niergends im Netz eine Herleitung finden! Hoffentlich kann mir jemand von euch helfen
   
   Danke schonma im vorraus :-)
   
   Glg

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3. bandi999

   bandi999 hat kostenlosen Webspace.

   10:25, 28.11.2009

   Hi,
   eine mathematische Herleitung kann ich dir auch nicht bieten, aber vielleicht eine vorstellbare ;).
   Zuerst überlege ich mir, was eigentlich gemacht wird:
   1.) Ein Punkt im Raum "wirft einen Schatten auf eine Ebene"
   2.) Die "Lichtstrahlen" laufen parallel, v gibt die Richtung der Lichtstrahlen an
   3.) Ich soll ausgehend vom den Koordinaten des Punktes den Schattenpunkt auf der Ebene berechnen
   4.) Die Multiplikation funktioniert so:
   
   
   Wenn du nun deine Matrix ansiehst, dann erkennst du, dass die z - Komponente (die dritte) des Schattenpunktes immer null ist. Das ist auch gut so, denn der Schatten liegt ja auf der xy Ebene und für alle Punkte auf dieser Ebene ist z = 0;
   Nehmen wir nun an du stehst auf dem Äquator, die Sonne ist direkt über dir. Dann sind die Lichtstrahlen parallel, dein Kopf ist ein Punkt im Raum und die Erdoberfläche ist eine Ebene. Dann haben wir die X Koordinaten entlang des Äquators, die Y Koordinaten sind in Richtung der Längengrade und Z läuft in Richtung Sonne.
   Somit ist v
   , wobei die z Komponente negativ ist, weil die Strahlen zur Ebene hin laufen. Für -1 kann jede andere negative Zahl stehen, da es nur um die Richtung geht. Deine Abbildungsmatrix sieht nun so aus:
   , das bedeutet x und y Koordinaten des Schattens sind die gleichen wie die deines Kopfes, z wird allerdings 0, denn der Schatten ist ja nicht auf deinem Hals, sondern auf der Ebene (Erdoberfläche) ;).
   Nun gut, die Zeit vergeht, du machst ein Nickerchen und die Sonne wandert entlang des Äquators weiter. Ein paar Stunden später stellst du dich wieder an den gleichen Punkt. Die Sonnenstrahlen kommen nun im Winkel von 45° entlang des Äquators. Somit ist v
   , und nun befindet sich der Schatten deines Kopfes auf dem Schatten deines Halses nicht mehr unter sondern neben dir. Hmm. aber wo ist der Schatten nun genau? Mathematisch hat sich also nicht nur die Z Koordinate, sondern auch die X Koordinate geändert. Aber um wie viel? Genau das bestimmt der Faktor -v1/v3 in der Abbildungsmatrix. Es ist also wichtig wie lange du geschlafen hast, ääh ich meine wie weit die Sonne entlang der X Achse (Äquator) gewandert ist und somit wie schräg die Lichtstrahlen einfallen. Genau dies sagt aber v aus und für die X Richtung ist es eben -v1/v3. Wie bereits erwähnt kommt das Minus daher, das die Richtung der Strahlen auf die Ebene zu erfolgt. Für die Berechnung ist es dann egal ob der Richtungsvektor vor oder hinter der Ebene liegt, für mein Beispiel ist es schon eher wichtig ;). Nun weißt du auch warum v3 nicht 0 sein darf? Klar weil teilen durch 0 verboten ist, aber ich meine in meinem Beispiel? Wäre v3 gleich 0, dann wären die Sonnenstrahlen genau parallel zur Erdoberfläche, wo sollte dann der Schatten sein. Das geht nicht.
   Das was ich beschrieben habe gilt natürlich auch für die Y Richtung. Wenn die Sonne sich also nicht nur gerade entlang des Äquators bewegt. Aber das kannst du ja jetzt sicher selbst nachvollziehen.
   
   Ich hoffe meine Darstellung ist nachvollziehbar, denn ich habe mir wirklich Mühe gegeben.
   Gruß
   Manni
   
4. Autor dieses Themas

   dennisdoerr

   dennisdoerr hat kostenlosen Webspace.

   12:32, 28.11.2009

   Also das ist wirklich eine sehr gute Erklärung :-) Ich weiß garnicht wie ich dir danken kann Wirklich sehr anschaulich und einfach Erklärt! sehr gut
   Danke und Liebe Grüße
   Dennis

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