Mathematik: Lineare Gleichungssysteme, Probleme bei Aufgabe!
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Liebe Community,
ich bin im 12ten Jahrgang eines 13n jährigen Schulsystems und momentan sind wir dabei Lineare Gleichungssysteme (LGS) durchzunehmen und dabei habe ich einige Verständnisprobleme bzw. ich verstehe bei den weiterführenden Sachen (also alles nach den Grundsätzen, wie der Umformung mithilfe des Gauß´schen Algorithmus) Bahnhof...
Mein Lehrer ist leider nicht gerade einer der erklärungsfreudigsten "Sorte" und das Mathematikbuch hilft mir auch nur bedingt weiter. Deshalb wollte ich einmal hier fragen ob mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen würde:
"Für welche Werte des Parameters "a" liegt eine eindeutige Lösung vor?"
3x - 6y = 4
4x - ay = a - 1
Ich bräuchte wirklich Hilfe! Vielen Dank schon mal im Voraus!
Mr. Bunny
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Hallo,
leider ist das mit der Mathematik schon relativ lange her - ich hätte aber einen Lösungsvorschlag anzubieten:
Zuerst das Gleichungssystem auflösen:
(1) aus 3x-6x=4 folgt: x=(6y+4)/3
(2) das wird dann in 4x-ay=a-1 eingesetzt, daraus folgt dann: y=(3a-19)/(24-3a). Ich hoffe ich habe mit da nicht verrechnet.
Somit sieht man, dass auf alle Fälle für 3a=24 oder a=8 keine eindeutige Lösung liefert, da eine Division durch Null einen unbestimmten Ausdruck liefert (wenn ich mich richtig erinnere). Was bei a=19/3 passiert (Zähler ist gleich Null) bin ich mir ehrlich gesagt nicht ganz sicher.
Ich hoffe das hilft wenigstens etwas.
lg
Hans -
Das geht sehr leicht mit Matrizen. Wichtig ist dabei immer die letzte Zeile der Lösungsmatrix, weil die dir genau deine Antworten liefert. Genaugenommen kannst du 3 Lösungen erhalten:
1] (0...1|a) => du hast genau eine Lösung für ein LGS
2] (0...0|a), a nicht 0 => du hast keine Lösung für ein LGS
3] (0...0|0) => du bekommst beliebig viele Lösungen für ein LGS
Betrachten wir mal die Matrix zu deinem System:
( 3 -6 | 4 )
( 4 -a | a-1 )
umformen mit folgenden Rechnungen ergibt: (1. Zeile komplett durch 3 teilen, dann Zeile 2 - 4*Zeile 1 rechnen)
( 1 -2 | 4/3 )
( 0 -a-8 | a-19/3 )
Anmerkung: Gelöst ist das mit dem Gaus'schen Algorithmus. Kann sein, dass ihr diesen nicht behandelt habt. Dann musst du die gleichungen einzeln betrachten und durch Einsetzungs-/Gleichsetzungs-/Additionsverfahren diese Gleichung erzeugen: (-a-8)y = a-19/3. Von da an gehts gleich weiter.
Betrachtet man nun die letze Zeile, so kann man sie in die oben genannten Fälle einsortieren, wenn man bestimmt, wann -a-8=0 gilt. Natürliche Lösung dieser Gleichung: a=-8.
Wir stellen also fest: für a=-8 gilt (einsetzten von -8 für a, -(-8)-8=0):
( 1 -2 | 4/3 )
( 0 0 | 8-19/3 )
Das ist einzuordnen in den 2. Fall (Matrix: 0...0|a a ungleich 0), also für a=-8 liefert das System keine Lösung.
Da die 3. Lösungsversion gar nicht zustande kommen kann, weil -8 die einzige Nullstelle von -a-8=0 ist, folgt also als Lösung deiner Aufgabe:
Für alle a ungleich -8 gilt: Das LGS hat genau eine Lösung(, sonst keine Lösung). -
WoW :)
Erstmal vielen Dank für die Hilfe! Krass das sich hier jemand soviel Mühe giebt, Respekt!
Also das mit den Matrizen haben wir auch gerrade anngefangen, aber wie haben es auch einfach wie eine ganz normale gleichung behandelt, ging auch irgendwie... nunja, ich werde mir dann mal das mit den Matrizen durchlesen :)
Danke nochmals,
Mr.B -
Nicht vergessen, dass diene Lösungsmenge auch von der Grundmenge abhängt!!!
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Alphara hat vollkommen recht, aber da es sich um eine Aufgabe aus der 12. handelt, würde ich gar nicht so kompliziert rangehen.
Die Aufgabensteller schreiben "Für welche a liegt ein eindeutiges Ergebnis vor?", aber was sie eigentlich meinen, ist "Für welche a liegt kein Ergebnis vor?", denn bei LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kann es ja gar nicht zu Mehrdeutigkeiten kommen.
Um so eine Aufgabe zu lösen, würde ich also nur ein bisschen Umformen bis ich sehe: Oh, wenn a=8, geht das ja gar nicht.
Und schon fertig, man muss ja bei Schulaufgaben auch immer effizient mit der Zeit umgehen. -
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