Mathe-lineare Funktionen .... Das Eliminiationsverfahren von Gauss ... kann mir jemand erklären?
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Hi,
ich habe mal wieder eine Frage Mathematik betreffend.
Unser Lehrer hat uns Bl?tter zum selbst aneignen des Materials gegeben, jedoch verstehe ich nicht wie ich das genau berechnen muss.
Thema: Das Eliminationsverfahren von Gauss
Am Anfang steht ohne Erkl?rung oder ?hnliches folgendes f?r eine Aufgabe (ich schreibe als Variable a, b, c etc. bei mir steht immer x1, x2 etc. wo man durcheinander kommen kann):
(1)
a + 3b + 2c = 5
-2a + 2b - c = 1
-a + b - c = -2
beispielweise wird das folgende Schema reduziert:
(2)
1 3 2 | 5
-2 2 -1 | 1
-1 1 -1 | -2
(dies ist noch verst?ndlich f?r mich, die Zahlen sind die von oben nur ohne die Variablen)
danach kommt:
Wir haben z.B. das Schema in den Rechner eingegeben und erhalten folgendes Resultat:
(3)
1 3 2 | 5
0 1 0.375 | 1.375
0 0 1 | 5
(dort wurde jeweils eine Variable immer gel?st, wie man aufs Ergebnis durch Rechnung kommt wei? ich aber nicht.)
Dies Schema bei (3) entspricht folgendem Gleichungssystem:
(4)
a + 3b + 2c = 5
b + 0.375c = 1.375
c = 5
-> Das System hat genau eine L?sung. Wir k?nnen sie durch Einsetzten berechnen. Sie lautet (-3.5 ; -0.5 ; 5)
Danach folgen zu dem Punkt (2) ein paar ?bungen, welche ich auch vom Sinn her verstehe. Auch wie man (3) umwandelt in (4) ist mir verst?ndlich, wenn die Tabellen vorhanden sind.
danach stehen ein paar "Merks?tze":
1. Beim Eliminationsverfahren erden wir eine neue Umformungsregel verwenden: Die Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen.
z.B. (ist eine andere Gleichung, als oben)
(5)
3x + 2y = 8
5x - 3y = -31
Daraus k?nnen wir ein neues System bilden, indem wir zur zweiten Gleichung z.B. das Zweifache der ersten Gleichung addieren. Wir addieren beide Seiten seperat: Wir z?hlen das Zweifache von 3x-2y zur linken Seite der zweiten Gleichung hinzu und das Zweifache von 8 zu -31:
(6)
3x + 2y = 8
5x - 3y + 2*(3x + 2y) = -31 + 2*8
Diese umformung f?r zu einem ?puivalenten Gleichungssystem.
-> wenn wir die zweite Gleichung vereinfachen so erhalten wir:
(7)
3x + 2y = 8
11x + y = -15
Danach steht: Der ?bergang von (5) zu (7) bringt allerdings keinen sichtbaren Nutzen. Aber die Grundidee ist gut, sie l?sst sich kultivieren!
Daraufhin kommen2 kleine Aufgaben mit 2 unbekannten, die ich noch verstehe und der 2. "Merksatz".
2.Mersatz:
Addieren wir zu einer Gleicung ein geeignetes Vielfaches einer anderen, so k?nnen wir erreichen, dass eine Unbekannte wegf?llt. Man sagt dann, sie sei eliminiert worden. Dadurch wird das System eindacher! Auf diese Idee beruht auch das Eliminationsverfahren und deshalb tr?gt es auch diesen Namen.
Sp?ter steht, dass man lieber mit gro?en Zahlen als mit Br?chen rechnen sollte, da Br?che schnell zu Fehlern f?hren k?nnten.
------- hier kommt nun mein gro?es Problem, dass obere ist nur zur Erl?uterung was wir hierf?r an Hinweisen haben ------
So sieht eine Schematische Illustration des System aus:
(8) (* ist eine beliebige Zahl)
*a + *b + *c + *d = *
*a + *b + *c + *d = *
*a + *b + *c + *d = *
*a + *b + *c + *d = *
Die Sternchen (*) bedeuten irgendwelche Zahlen. Beginnen wir gleich mit dem Ende. Nehmen wir wan, es gelingt, das System durch Umformen in ein ?quivalentes System von folgender Form zu bringen (Wieder bezeichnen Sternchen gewissen, wahrscheinlich andere Zahlen):
(9)
*a + *b + *c + *d = *
*b + *c + *d = *
*c + *d = *
*d = *
Das Schema an sich verstehe ich. Man versucht so zu machen, dass man leicht d ausrechnen kann und somit nach oben hin alle anderen variablen.
Es steht ja auch hier auch so weiter da, was vom logischen her verst?ndlich ist:
1. Schritt. Die erste Unbekannte a aus der 2., 3. und 4. Gleichung eliminieren:
*a + *b + *c + *d = *
*b + *c + *d = *
*b + *c + *d = *
*b + *c + *d = *
Die 1. Unbekannte a kommt nur noch in der 1. Gleichung vor.
2. Im zweiten Schritt k?mmern wir uns um die 2. Unbekannte. Wir eliminieren sie aus der 3. und 4. Gleichung:
*a + *b + *c + *d = *
*b + *c + *d = *
*c + *d = *
*c + *d = *
3. Schritt eliminieren wir die 3. Variable aus der 4. Gleichung:
*a + *b + *c + *d = *
*b + *c + *d = *
*c + *d = *
*d = *
Danach wird die Gleichung gel?sst.
Nun hier ist jetzt mein Problem genau erkl?rt.
Wie das Funktioniert von Logischen her verstehe ich jedoch nicht anhand eine Richtigen Aufgabe.
kann mir das jemand genau erkl?ren?
Bitte auch mit was und wie man das rechnet? Am besten so genau wie m?glich. Auch eine Internetseite wo sowas genau anhand einer Aufgabe erkl?rt ist w?re hilfreich.
Hier ist eine Aufgabe aus dem Blatt. ich sch?tze mal, wenn ich das bei einer verstehe. Werden auch die anderen irgendwie klappen.
Aufgabe:
a + 2b + 2c = -4
2a + 4b + 5c = -9
-3a - 3b + 6c = -9
----- Meine Eigene L?sungsidee ----
Ich vorme so um, dass a alleine Steht
a = -2b -2c -4
Nun w?rde ich a in die anderen Gleichungen erstmal einsetzen:
2*(-2b -2c -4) + 4b + 5c = -9
vereinfacht kommt daraus:
c = -1
nun w?rde ich a in die 3. Gleichung einsetzen.
-3*(-2b -2c -4) - 3b + 6c = -9
3b + 12c + 12 = -9 |-12
3b + 12c = -21
nun w?rde ich die L?sung von c in die 3. Gleichung einf?gen.
3b + 12*(-1) = -21
3b -12 = -21 |+12
3b = -9 |:3
b = -3
und nun w?rde ich b und c in die 1. Gleichung einsetzen:
a = -2b -2c -4
a = -2*(-3) -2*(-1) -4
a = 6 + 2 - 4 = 4
Probe:
a + 2b + 2c = -4 -> 4 - 6 - 2 = -4
2a + 4b + 5c = -9 -> 8 - 12 - 5 = -9
-3a - 3b + 6c = -9 -> -12 +9 - 6 = -9
Das stimmt. Doch ist dies wirklich das Eliminationsverfahren?
ich glaube es nicht wirklich....
Und was w?re wenn ich Addieren m?sste?
Bei 2 Unbekannten w?rde ich mit dem umgeformten weiter rechnen. Bei der hier auch?
M?sste ich wenn ich z.B. die 2. gleichung mit irgendwas addieren w?rde auch alle anderem mit dem selben addieren, oder nicht?
es verwirrt mich irgendwie.
danke f?r eine Antwort im vorraus.
Michiru -
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Also ich musste mir das krankheitsbedingt auch selbst beibringen. Da hat mir Wikipedia ganz gut weitergeholfen: http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren
Zur Aufgabe:
a + 2b + 2c = -4 | * 15
2a + 4b + 5c = -9 | * 6
-3a - 3b + 6c = -9 | * 5
_______________________
15a + 30b + 30c = -60
12a + 24b + 30c = -54 | - erste Zeile
-15a - 15b + 30c = -45 | - erste Zeile
_______________________
15a + 30b + 30c = -60
-3a - 6b = 6
-30a - 45b = 15 | / 7.5
_______________________
15a + 30b + 30c = -60
-3a - 6b = 6
-4a - 6b = 2 | - zweite Zeile
_______________________
15a + 30b + 30c = -60
-3a - 6b = 6
-a = -4
_______________________
Jetzt musst du nur noch r?ckw?rts einsetzen ...
Ich habe die Gleichungen immer so erweitert, dass ich dann durch Addition bzw. Subtraktion eine Variable eliminieren konnte.
Edit: Ich hab nicht nachgerechnet, k?nnten auch Fehler drin sein ...
Beitrag ge?ndert am 10.03.2006 20:26 von phattek -
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