Mathe: Flächeninhalt
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Hi,
mir ist gerade eine alte Aufgabe zum Flächeninhalt von Kreisausschnitten untergekommen zu der ich soweit keine Lösung weiß:
Es geht um den Flächeninhalt. Ich habe das ganze hier mal skizziert:
http://yfrog.com/2eaufgabep
Der Umfang des ganzen beträgt 6,9m.
Wenn ich anfange daran zu rechnen fehlt mit der Radius des Kreisbogens bzw. der Winkel.
Ich bin so rangegangen:
Fläche in 2 Flächen teilen, ein Rechteck und den Kreisausschnitt.
Rechteck:
Kreisbogen ist der Umfang minus dem Teilumfang des Rechtecks:
Kreisausschnitt:
Vielleicht könnte jemand kurz helfen was ich da übersehe.
hk1992 -
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Ich weiß nicht ob das hilft bzw. ob es richtig ist, aber ich versuchs mal heirmit ^^
http://easynetpage.lima-city.de/othercontent/aufgabe.gif
(ja ich weiß, bescheiden editiert, die "Blume" soll EIN Kreis sein ^^)
Damit wäre meiner ansicht nach der mittelpunkt festgelegt. oder hab ich irgendwas falsch? O.o
//EDIT: Das Gestrichelte soll die beiden Linien zu einem Quadrat verbinden. Der Mittelpunkt des Kreises ist dadurch der Mittelpunkt des Quadrats.
Beitrag zuletzt geändert: 26.4.2010 21:56:10 von easynetpage -
Ich schieße ungern mit Kanonen auf Spatzen, aber ich habe es wiefolgt gemacht:
Den Kreisausschnitt habe ich durch eine Polynomfunktion 2.Grades beschrieben
(man hat ja 3 Punkte, die man für den Kreisausschnitt kennt.).
Baust dir da noch ein Koordinatensystem ein (möglichst y-Achse so legen, dass die
beiden äußeren Punkte des Kreisausschnittes symmetrisch liegen. x-Achse liegt
auf Höhe der beiden äußeren Punkte).
Dann kannst du die Polynomfunktion über dein Interval integrieren (äußerer punkt links,
zu äußerer punkt rechts) und bekommst die Fläche daraus. Dürfte so ziemlich exakt sein.
Habe dafür 0,32 m² raus (nur für die Fläche des Kreisausschnittes).
Komme gerade leider auch nicht auf eine andere Lösung... Es gibt mit Sicherheit eine
andere einfache Lösung mit einem Ansatz, der ähnlich zu deinem ist... bin dafür aber
gerade zu doof^^
und ein Bild habe ich auf die schnelle auch nicht für dich, sorry.
Gruß
tangoal -
Eine suche nach "Kreissegment" hätte mehr erfolg gehabt, aber hier mal die Formel um das ausrechnen zu können:
ein paar definitionen,
h = 2.5-2.1
s = 1.2
und alles eingesetzt:
Beitrag zuletzt geändert: 26.4.2010 21:55:56 von nemoinho -
Also da muss eine leichtere Lösung möglich sein, oder es ist ein Fehler in der Aufgabe, was ich aber nicht glaube(stammt aus einem Mathematik Schulbuch Klasse 9!). Ich sollte eben diese Aufgabe einem 9.Klässler erklären. Ich dachte erst eigentlich, dass dieses Kreisausschnittproblem eigentlich leicht zu lösen sein sollte, auf jeden Fall brauche ich einen Weg, den ein 9.Klässler nachvollziehen kann. Das Bedeutet mit einem ähnliche Ansatz wie dem, den ich im Einleitunspost genannt habe, über diese Formeln:
Und eben den normalen Kreisformeln:
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Wenn in der Aufgabenstellung zum Beispiel drin steht "Bestimme den Flächen inhalt von Figur XYZ", dann kann man auch improvisieren und mittels Geodreieck einen Rechten Winkel an den beiden Enden der Rundung ermitteln und daraus auf einen Radius schließen, wenn allerdings etwas von "berechne" den Flächeninhalt dasteht, dann ist die Aufgabe für einen 9. Klässner nicht lösbar, zumindest nicht mit den von dir gegeben Maßen!
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nemoinho schrieb: Wenn in der Aufgabenstellung zum Beispiel drin steht "Bestimme den Flächen inhalt von Figur XYZ", dann kann man auch improvisieren und mittels Geodreieck einen Rechten Winkel an den beiden Enden der Rundung ermitteln und daraus auf einen Radius schließen, wenn allerdings etwas von "berechne" den Flächeninhalt dasteht, dann ist die Aufgabe für einen 9. Klässner nicht lösbar, zumindest nicht mit den von dir gegeben Maßen!
Also mit dem Geodreieck bestimmen ist hier definitiv nicht möglich. Ich habe mich auch gewundert, da ich keine Lösung sehe. Dann muss ich wohl bis nächste Woche Montag warten und schauen was ein Mathelehrer dazu sagt. Wenn ich daran denke, schreibe ich das Ergebnis hier. Vielleicht fällt auch noch jemandem etwas ein. -
hk1992 schrieb:
Der Umfang des ganzen beträgt 6,9m.
Ist das der Umfang des ganzen Kreises oder der ganzen Figur (Rechteck + Kreissegment) ? -
for-joy schrieb:
hk1992 schrieb:
Der Umfang des ganzen beträgt 6,9m.
Ist das der Umfang des ganzen Kreises oder der ganzen Figur (Rechteck + Kreissegment) ?
Das ist der Umfang der ganzen Figur, sonst wäre es ja total simpel. Dann könnte man vom Kreisumfang auf den Radius schließen und hätte kein Problem mit der Flächeninhaltsberechnung. -
hk1992 schrieb:
Wirklich? Wenn ich dir den Radius oder den Umfang des Kreises berechne, dann kommst du weiter? Mir fällt keine Formel ein, wie man dann weiter kommt, aber zumindest den Radius oder den Umfang (ist ja relativ egal) kann ich dir berechnen. Einen Moment bitte, ich muss noch schnell was zu Ende machen, dann berechne ich dir das.
Das ist der Umfang der ganzen Figur, sonst wäre es ja total simpel. Dann könnte man vom Kreisumfang auf den Radius schließen und hätte kein Problem mit der Flächeninhaltsberechnung.
Edit: Der TE hat alles per PN bekommen.
Beitrag zuletzt geändert: 27.4.2010 17:12:56 von drafed-map -
drafed-map schrieb:
hk1992 schrieb:
Wirklich? Wenn ich dir den Radius oder den Umfang des Kreises berechne, dann kommst du weiter? Mir fällt keine Formel ein, wie man dann weiter kommt, aber zumindest den Radius oder den Umfang (ist ja relativ egal) kann ich dir berechnen. Einen Moment bitte, ich muss noch schnell was zu Ende machen, dann berechne ich dir das.
Das ist der Umfang der ganzen Figur, sonst wäre es ja total simpel. Dann könnte man vom Kreisumfang auf den Radius schließen und hätte kein Problem mit der Flächeninhaltsberechnung.
Edit: Der TE hat alles per PN bekommen.
Ja, wenn man den Radius hat (weiß ich inzwischen auch wie man den berechnen kann) kannst du die Fläche des Kreissegments ausrechnen, wie schon im 1. Beitrag steht. In diesen kannst du dann ein Dreieck einzeichnen, das eigentlich von dem Rechteck überdeckt wird. Also die Fläche dieses Dreiecks abziehen und die des Rechtecks addieren. Fertig. -
Vlt hilft ja folgender Zusammenhang weiter:
s = 2 * wurzel(2*h*r - h^2)
mit
s = Kreissehne = Grundseite des Rechtecks in deinem Fall
h = Bogenhöhe zur Sehne s = Gesamthöhe - Höhe des Rechtecks für dich.
Das ganze nach r auflösen und dann kennst du den Radius mit dem sich alles schnell berechnen lassen sollte:
A = 1/2 [ b*r - s*( r - h )]
Ich hoffe, dass du die Bogenlänge b schon kennst, sonst sollte man sich da mal Gedanken machen.
€dit: hab grad gesehen, dass du den Gesamtumfang kennst, also kennst du auch den Bogen.
€€dit: Weil mir gerade langweilig ist, hier die Lösung:
Rechteck:
A = a*b = 1.2*2.1 = 2.52
Kreissegment:
U = 6.9 => b = 6.9 - 2*2.1 - 1.2 = 1.5
s = 1.2
h = 2.5 - 2.1 = 0.4
s = 2 * wurzel(2*h*r - h^2) <=> r = (s^2 + 4*h^2) / (8*h) = 13/20 (hoffentlich nicht verrechnet...)
A = 1/2 [ b*r - s*( r - h )] = 27/80
Gesamt:
2.52 + 27/80 = 1143 / 400 = 2.8575 (sieht nach verrechnet aus, aber im Prinzip gehts genau so)
Beitrag zuletzt geändert: 27.4.2010 23:45:04 von alphara -
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