Logarithmus Naturalis im Komplexen
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Hallo!
Wie berechnet man in unter der Bedingung das ?
Der Google-Rechner spuckt mir für beliebige komplexe Zahlen irgendwelche Werte aus, aber ich komme einfach auf keine Idee, wie man das so umformt, dass am Ende ein einfach lösbarer Term dasteht.
Unter der Annahme gilt ja und . Das bedeutet zwar, dass der Logarithmus in die Potenz der Expotentialfunktion geschrieben werden kann, allerdings sind da die störenden trigonometrischen Funktionen... -
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Das Problem ist doch, dass ich genau das nicht kann. Bei rein komplexen Anteilen wäre das in der Tat einfach auf den Logarithmus der reellen Zahlen zurückzuführen, nach der Art . Allerdings darf man nicht vergessen, dass im Logarithmus so etwas steht: Damit wird das Ergebnis nicht trivial abhängig von x und y...
Beitrag zuletzt geändert: 3.2.2012 17:40:51 von toolz -
Hallo toolz,
es gilt:
wobei atan2() das folgende ist:
http://en.wikipedia.org/wiki/Atan2
Edit: einen log() vergessen
Beitrag zuletzt geändert: 3.2.2012 20:18:49 von darkpandemic -
die sache ist doch eigentlich ganz "straight forward" (worauf sicher auch ttobsen mit seinem kryptischen Kommentar anspielt:)
Für z = |z|*exp(i phi +2i n pi) :
ln(z)=ln(z*exp(i phi +2i n pi)=... log eines Produktes ist Summe der logs der Faktoren...=ln(|z|) + ln(exp(i*phi+2i n pi) = ln(|z|) + i*phi+2i n pi=...n=0 für das Arg(z), den ersten Winkel ...= ln(|z|) + i*phi
Hast du nur z = x+iy, dann verwende |z| = sqrt(x²+y²) und phi = atan(y/x) -
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