Kombinatorik - Ziehen mit zurücklegen
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Ich habe mal eine Verständnisfrage zu ner Kombinatorikaufgabe. (jaja, es ist nicht mein meistgeliebtes thema^^)
Aufgabe (1):
gegeben ist eine Urne mit 5Kugeln: 1 weiße, 4 rote
nacheinander werden 10 Kugeln mit zurücklegen gezogen
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn genau 2 rot sein sollen.
Nach der Produktregel gibt es für 2 aus 4 möglichen roten ziehen A = 4*4 Möglichkeiten. Weil ich die beiden Kugeln in den 10 gesamt gezogenen Kugeln beliebig anordnen kann, muss ich mit 10C2 multipizieren
A = 4² * 10!/[2!*(10-2)!]
A = 720
Aufgabe (2)
Ein Glücksrad besteht aus 3 versch. großen Sektoren mit den Zahlen 2; 3; 5. P(2)=0,5; P(3)=0,3; P(5)=0,2
Es wird je 10x gedreht
Wie hoch ist die WS, dass die Zahl 5 weniger als 5x und mehr als 2x auftritt? (D.h. sie tritt 3x bzw. 4x auf)
Das ganze kann man ja jetzt als ziehen mit zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge ansehen, also ist es eine Variation mit Wiederholung.
Für 3x die fünf gilt: 0,2*0,2*0,2 und das noch multipliziert mit (0,8)^7 weil ich ja die 7 anderen Male "Nicht-Fünfen" ziehe. Das muss ich wiederum mit 10C3 multipizieren, weil die drei fünfen ja beliebig angeordnet werden können
Wenn man das analog mit 4x eine fünf ziehen macht, erhält man
P(X= 2<x<5) = (0,2)^3 * (0,8)^7 * (10C3) + (0,2)^4 * (0,8)^6 * (10C4)
P(X= 2<x<5) = 0,29
Jetzt zu meiner eigentlichen Frage: Warum beachte ich bei Aufgabe (1) die anderen 8 nicht-roten Kugeln überhaupt nicht und bei Aufgabe (2) beachte ich aber DENNOCH die "Nicht-Fünfen", OBWOHL es doch vom Prinzip her das gleiche ist.
Und es wäre cool, wenn ihr mir nochmal erklären könntet, warum ich genau mit n über k multiplizieren muss um alle Möglichkeiten zu berücksichtigen. Weil es ist doch ziehen mit Reihenfolge aber bei n über k ist doch die Reihenfolge egal, das habe ich nicht ganz verstanden.
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Bei der ersten Aufgabe war nach der Anzahl der Möglichkeiten gefragt. Genau zwei sollen rot sein. Es gibt nun mehrere Möglichkeiten, welche zwei der zehn rot sind. Das hast du mit 10C2=45 korrekt berechnet. Wenn die Farben feststehen, gibt es für die roten jeweils noch 4 verschiedene Varianten (also welche der vier roten gezogen wurde). Auch das hast du korrekt berechnet: 45*4*4=720
Bei den übrigen acht weißen Kugeln gibt es immer nur eine Möglichkeit (Du hast auch nur eine weiße Kugel). Theoretisch könnte man die 720 noch mit 1^8 multiplizieren, aber dabei ändert sich nichts mehr.
Die zweite Aufgabe war anders gestellt. Es ging hier um die Wahrscheinlichkeit.
Die Zahl 5 soll 3x oder 4x auftreten. Für 3x gibt es 10C3=120 Möglichkeiten.
Eine davon wäre z.B. 5-5-5-(keine 5)-(keine 5)-(keine 5)-(keine 5)-(keine 5)-(keine 5)-(keine 5)
Um jetzt die Wahrscheinlichkeit zu berechnen sind die hinteren 7 Zahlen auch wichtig. Denn die dürfen auf keinen Fall 5er sein, sonst ist das Ereignis nicht erfüllt (oder wird woanders schon berücksichtigt).
Deshalb (0,2)^3 * (0,8)^7
Ein großer Unterschied war also die Fragestellung, aber auch die Anzahl der Kugeln in Aufgabe 1 spielt eine Rolle.
Zu der letzten Frage:
Die Reihenfolge ist für das Ereignis egal. Es heißt ja in Aufgabe 1 "irgendwelche zwei Kugeln sind rot". Und eben deshalb musst du auch alle denkbaren Reihenfolgen berücksichtigen. Und wie viele das sind berechnet man eben mit (n über k).
Ich hoffe, ich konnte soweit helfen. Sonst einfach zurückfragen. -
Bei den übrigen acht weißen Kugeln gibt es immer nur eine Möglichkeit (Du hast auch nur eine weiße Kugel). Theoretisch könnte man die 720 noch mit 1^8 multiplizieren, aber dabei ändert sich nichts mehr.
Danke für deine Hilfe!
Okay gut, dann gehen wir mal von folgendem aus:
nun ist es eine Urne mit 6 Kugeln: 2 weiße, 4 rote
nacheinander werden 10 Kugeln mit zurücklegen gezogen
Wie viele Möglichkeiten gibt es nun, wenn genau 2 rot sein sollen.
Müsste es dann heißen:
A = 4^2 * 2^8 * 10C2
A = 16 * 256 * 45 = 184 320
Das wäre ja dann im Vergleich zu den 720 Möglichkeiten wahnsinnig viel mehr (gut, wir haben jetzt auch 6 statt 5 Kugeln, trotzdem ist es ein Riesenunterschied. Es ist doof, das man sich das ganze so schwer vorstellen kann. Man weiß ja auch nie, ob das Ergebnis in der richtigen Größenordnung ist..)
Wenn dem so sein sollte, heißt das man muss eigentlcih immer die andersfarbigen Kugeln oder whatever beachten aber in dem Beispiel haben wir das nur rausgelassen weil es eine einzige Kugel war und die eins keinen Einfluss hat, oder? -
Genau, wenn 8mal jeweils eine weiße Kugel gezogen werden soll, und es auch nur eine weiße Kugel gibt, dann hast du jedes Mal nur eine Möglichkeit und auch insgesamt nur eine Möglichkeit.
Sind es dagegen zwei weiße Kugeln, kannst du jedes einzelne Mal entscheiden und das sind dann wesentlich mehr Möglichkeiten.
sy schrieb:
Richtig, das sind dann wirklich so viele.
Müsste es dann heißen:
A = 4^2 * 2^8 * 10C2
A = 16 * 256 * 45 = 184 320 -
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