Kombinatorik vs. Bernoulli Formel
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Hallo! Ich habe hier ein VErständnisproblem und wäre über Erklärung dankbar!
Also die Aufgabe(n) schauen so aus:
Ein Betrieb hat sich auf die Produktion elektronischer Bauelemente spezialisiert. Erfahrungsgemäß sind 12 % der produzierten Bauteile defekt.
Der laufenden Produktion werden 5 Bauteile entnommen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist höchstens eines dieser Bauteile defekt?
Einer Tagesproduktion von 50 Stück, die genau 6 defekte Teile enthält, werden 5 Teile entnommen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist höchstens eines dieser Bauteile defekt?
Die erste Teilaufgabe erfolgt ja nach der Bernoulli-Formel, weil binomialverteilt mit P(d) = 0,12 und n = 5
P(X ≤ 1) = 0,88^5 + 0,12 * 0,88^4 * 5
P(X ≤ 1) = 88,75%
So, bei der nächsten Aufgabe habe ich ja die absoluten Häufigkeiten: 6 defekte und 44 nicht-defekte Teile. Daraus kann ich ja mit 50 Gesamtteilen die relative Häufigkeit und damit die Wahrscheinlichkeit aufstellen und analog zur obigen Aufgabe verfahren.
Das is aber falsch laut Lösung. Da muss ich mit Kombinatorik (und der Laplace-Wahrscheinlichkeit) rechnen.
Laut Lösung Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge (also mit n über k )
P = [(44 C 5)(6 C 0) + (6 C 1)(44 C 4)] / (50 C 5)
Jetzt frage ich mich einfach, woran ich erkenne, dass ich hier mit Kombinatorikmitteln vorgehen muss?
Danke für Hilfe! -
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Bernoulli-Verteilung: darfst du nur anwenden, wenn du nicht mehr kennst als eine Wahrscheinlichkeit. Die hypergeometrische Verteilung (so nennt sich das, was du gerechnet hast) nimmst du hingegen, wenn du 1) die Gesamtanzahl an Teilen, 2) den Stichprobenumfang und 3) die Anzahl der defekten Einheiten kennst.
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hab noch mal gestöbert und bin drauf gekommen, dass die Bernoulli-Formel das Modell Ziehen MIT Zurücklegen als Grundlage hat und die hypergeometrische Verteilung das Urnenmodell Ziehen ohne Zurücklegen.
Wenn ich aber mal die erste aufgabe anschauen, dann entspricht das Entnehmen der Bauelemente eher dem Ziehen OHNE Zurücklegen und doch ist es eine Bernoulli-Kette.
Wieso das denn? Ich bin grad völlig verwirrt. -
Wenn du nur weißt, dass 12% defekt sind, und es sich um eine Produktion handelt, dann kannst du von einer sehr sehr großen Stückzahl ausgehen. In dem Fall kommt es auf 1, 2 oder gar 5 Stück die du entnimmst und zurücklegst oder eben auch nicht zurücklegst nicht an, da sich die Wahrscheinlichkeit deshalb so wenig ändert, dass das zu vernachlässigen ist. Ab einer groß genugen Stückzahl darfst du das so nähern; wenn du gar keine Angabe über die Stückzahl hast bleibt dir sowieso nix anderes übrig.
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Danke, das hat mir jetzt sehr geholfen!
Also dass die Binomialverteilung dahingehend eigentlich eine Näherung darstellt (die ja halt logischerweise nötig ist wenn keine Gesamtzahl gegeben ist) wusst ich nicht.
Aber das erkenne ich jetzt auch an meiner falschen Rechnung. Die wich nämlich nur um ca. 1% oder sogar weniger ab.
Das heißt, wenn ich solche Aufgaben habe, wo es zwar auch nur um Erfolg und Misserfolg geht, muss ich trotzdem schauen, ob ich ne Gesamtzahl gegeben hab und mich fragen ob ich MIT oder OHNE Zurücklegen ziehe, und danach entscheiden ob ich nun mit Binomial- oder der hypergeometrischen Verteilung rechne.
Richtig?
__
Ich hab mal für mich die Abweichungen bei immer größer werdender Gesamtkugelzahl genommen.
Wenn immer 5 gezogen werden und man nimmt 1000 Kugeln (gleiches Verhältnis defekt und nicht-defekt)
beträgt die Abweichung noch 0,05% und bei 10 000 Kugeln nur noch 0,01%
Danke, hab ich wieder was gelernt :D
Beitrag zuletzt geändert: 24.1.2015 11:20:25 von sy -
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