Kehrwert bei Brüchen
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Tag,
heute wurde mir mal wieder eine sinnige Frage gestellt. Bei der Division von Brüchen wird ein Kehrwert genommen. Dass es so ist, ist klar - aber warum? Ist es eine der vielen Gesetzmäßigkeiten, die keine weitere Begründung haben? Oder gibt es dafür einen Logisch nachvollziehbaren Grund?
Bitte weiht mich ein ;) -
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Hier steht das alles ziehmlich genau:
http://de.wikipedia.org/wiki/Division_(Mathematik)
Übrigens: Das gilt nicht nur für Brüche. Du kannst genauso 4 / 2 teilen indem du 4 * 0,5 oder 4 * (1/2) rechnest.
Ein Bruch ist ja nichts anderes als eine Division. Bei Kommazahlen kommt es darauf an, ob sie aus Q ist oder nicht.
Z.B. ist PI kein Bruch
Gruß, Prog -
Hier steht das alles ziehmlich genau:
http://de.wikipedia.org/wiki/Division_(Mathematik)
Übrigens: Das gilt nicht nur für Brüche. Du kannst genauso 4 / 2 teilen indem du 4 * 0,5 oder 4 * (1/2) rechnest.
Ein Bruch ist ja nichts anderes als eine Division. Bei Kommazahlen kommt es darauf an, ob sie aus Q ist oder nicht.
Z.B. ist PI kein Bruch
Gruß, Prog
Wow, du hast mir nun echt alles erzählt, was ich wie schon gesagt bereits wusste. Bei Wikipedia habe ich bisher auch nichts gefunden, was meine Frage beantwortet, Die Frage war: Gibt es dafür auch eine Begründung, dass man einen Kehrwert nimmt? Denn auf dem von dir genannten Link ist wieder nur die Tatsache beschrieben. -
logani schrieb:
ich denke , allein das Anschauen der Gleichung reicht als Begründung:
5 : 2 ==> 5/2 ==> 5 * 1/2
soll heissen : es ist logisch (und auch einfach beweisbar) , dass eine Division identisch ist, mit der Multiplaktion mit dem Kehrwert.
Gut, drücken wir es so aus: Angenommen, ich kenne die Regel mit dem Kehrwert nicht, wie komme ich dann darauf, diesen zu benutzen? Momentan hab ich mich ein wenig durchgearbeitet zu
1/2 : 1/2 = 1
=> 1/2 * 1/2^-1 = 1
=> ...
Allerdings komme ich da auch nicht weiter. Ist das mit dem Kehrwert vielleicht so rudimentär, dass es keine nähere erklärung dazu gibt, als "Hat nunmal jemand herausgefunden, es passt, also wird das benutzt?" oder hat da noch jemand eine einfachere Erklärung?
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Prinzipiell resultiert die Regel "Division durch Bruch -> Multiplikation mit Kehrwert" aus folgenden Prämissen:
- Definition "Multiplikative Inverse von y := Zahl, die mit y multipliziert 1 ergibt"
- Definition "Division := Multiplikation mit Multiplikativer Inverse"
- Definition "Rationale Zahl m/n := Ergebnis der Division von m durch n"
- Assoziativgesetz der Multiplikation
- Kommutativgesetz der Multiplikation
Die letzten beiden müsste man theoretisch erst noch beweisen, das ist mir aber gerade zu anstrengend...
Beweisen wir also, dass
m/n : m/n = 1
ist (Ich benutze hier immer : für die Operation der Division und / für die Darstellung von Brüchen). Dazu gehen wir zunächst wie folgt vor:
m/n : m/n
= m/n * (m/n)^-1 (Definition der Division)
Was noch zu tun bleibt bleibt ist, zu zeigen, dass der Kehrwert eines Bruches seine multiplikative Inverse ist. Also ermittelt man (m/n)^-1, indem man diejenige Zahl sucht, die bei Multiplikation mit m/n die 1 ergibt:
(m/n) * x = 1
<=> (m : n) * x = 1 (Definition der rationalen Zahl m/n)
<=> (m * n^-1) * x = 1 (Definition der Division)
<=> m * n^-1 * x = 1 (Assoziativgesetz)
<=> n^-1 * x = m^-1 (Linksseitige Multiplikation mit m^-1)
<=> x = m^-1 * n (Linksseitige Multiplikation mit n)
<=> x = n * m^-1 (Kommutativgesetz)
<=> x = n : m (Definition der Division "rückwärts" )
<=> x = n/m (Definition der rationalen Zahl n/m "rückwärts" )
=> (m/n)^-1 = n/m
Der Rest ist Geschichte:
m/n : m/n
= m/n * (m/n)^-1 (Definition der Division)
= m/n * n/m (Was wir gerade mühsam gezeigt haben)
Beitrag geändert: 12.8.2008 13:52:38 von merovius -
Klingt logisch. Ich bin bisher auf die möglichkeit gekommen:
bspsw.
1/2 : 1/2 = 1
Wir wollen die Brüche nicht teilen, weil doof. Also suchen wir:
1/2 * x = 1 | :1/2
x = 1 : 1/2
=> x = 1/2^-1
=> x = 2/1
1/2 : 1/2 = 1/2 * 1/2^-1
1/2 : 1/2 = 1/2 * 2/1
Ob das wohl durchsichtig genug klingt?
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