Hilfe bei trigonometrischer Gleichung
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vergangenen jahren
vorgehen
weiss grad
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Hey.
Ich muss zur Berechnung des Schnittpunkts zweier trigonometrischer Funktionen die beiden Funktionsgleichungen gleich setzen und erhalte so folgende goniometrische Gleichung:
3*cos(2x) = 2*sin(4x)
Ich habe aber keinen Plan, wie ich das x isolieren kann, da wir in den vergangenen Jahren goniometrische Gleichungen nur spärlich und vor allem nur einfache Beispiele behandelt hatten. Bisher haben wir momentan im Unterricht die Methode genutzt, durch Division auf den Tangens zu kommen um dann x mit x = arctan(...) zu bekommen.
Bei diesem Beispiel kann ich das ja jetzt nicht so einfach tun, da ja vor dem x innerhalb der Winkelfunktion noch ein Faktor steht. Wie kann ich also anders vorgehen? Quadrantenbeziehungen helfen doch auch nicht wenn da ein Faktor vorm x ist oder?
Eine Idee hatte ich noch: so umformen dass auf einer Seite null steht:
3cos(2x) - 2sin(4x) = 0
Das heißt der Kosinus und der Sinus müssten null werden. Dann müsste ich 2x = k*pi + (pi)/2 sowie 4x = k*pi berechnen, aber wie "verknüpf" ich dann beide Ergebnisse, sodass ich nur dasjenige bekomme, das für beide Ausdrücke null ergibt? -
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sy schrieb:
Du könntest Summensätze anwenden, z.b.
Eine Idee hatte ich noch: so umformen dass auf einer Seite null steht:
3cos(2x) - 2sin(4x) = 0
Damit kommst du dann auf:
Mit den weiteren Punkten musst du dich natürlich noch etwas spielen
Noch ein Hinweis: irgendwann schneiden beide Funktionen gleichzeitig die Abszisse, den Punk dazu bekommst du aus der Zeile nach Einsetzen in den Doppelten-Winkel-Satz sehr schnell heraus. Bei x = π / 4 wird 2x zu π / 2 und da wird der cos 0, der sin spielt dabei keine Rolle. In der ursprünglichen Form deiner Gleichung ist das hingegen eher nicht sofort erkennbar.
Beitrag zuletzt geändert: 10.1.2014 20:01:54 von hackyourlife -
Du könntest Summensätze anwenden, z.b.
Damit kommst du dann auf:
Hab mal in wiki nachgeschaut(weiss grad auch nicht weiter):
wiki
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Danke. Da es eine Abi-Aufgabe ist, darf ich nur mit den Formeln im mir zur Verfügung stehenden Tafelwerk arbeiten. Darin sind nur die Additionstheoreme für den doppelten und dreifachen Winkel. Deswegen substituiere ich 2x.
3cos(2x) = 2sin(4x)
z=2x
3cos(z) = 2sin(2z)
3cos(z) = 4sin(z)cos(z)
0 = 4sin(z)cos(z)-3cos(z)
0 = cos(z)[4sin(z) - 3]
Kosinus wird null:
z[1] = π/2 + kπ
z[1] = π(2k+1)/2
x[1] = π(2k+1)/4
Klammerausdruck wird null:
4sin(z)-3 = 0
sin(z) = 3/4
z[2] = arcsin(3/4) + 2kπ
x[2] = (1/2)*arcsin(3/4) + kπ
(rund 0,424 + kπ)
Weitere Quadrantenbeziehungen beachten:
sin z = sin(π-z)
z[3] = π - arcsin(3/4) + 2kπ
x[3] = (1/2)*(π - arcsin(3/4)) + kπ
(rund 1,147 + kπ)
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