Gleichung Lösen / Additionstheoreme

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myhead

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11:00, 12.10.2011
Hey,

Ich habe folgende Gleichungen und diese sollen aufgelöst. Ich denke das ganze hat etwas mit Additionstheoremen zu tun aber keine Ahnung wie ich da vorgehen soll.

1) $Formel: 2 \cdot sin^2 (x) + sin^2(2x) = 2$
2) $Formel: cos^3 (x) \cdot sin(3x) + sin^3(x) \cdot cos(3x) = \frac {3}{4}$

Kennt jemand eine Seite auf der dies gut erklärt ist (nicht so wie in wikipedia^^) und wo es ähnliche Aufgaben mit Lösungen gibt??

Vielen Dank schon mal :)

..werde die gleichungen noch richtig formatieren, sobald ich wieder herausgefunden habe wie das ghet ;)

Beitrag zuletzt geändert: 12.10.2011 11:05:44 von myhead
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illuxio

illuxio hat kostenlosen Webspace.

12:32, 12.10.2011
Für Nummer 1) ist lediglich der Menschenverstand nötig:

Sinus ist periodisch und ist bei
$Formel: x=0 \Rightarrow sin(x) = 0$
$Formel: x=\frac{1}{2} \pi \Rightarrow sin(x) = 1$
$Formel: x=\pi \Rightarrow sin(x) = 0$
...

Weil $Formel: sin^2(2x) < 2$ ist und $Formel: | sin^2(x) | = 1 \Rightarrow sin^2(2x) = 0$ .

Daher muss $Formel: x = \frac{1}{2} \pi + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Beim 2) umformen mit:

$Formel: sin^3(x)=\frac{1}{4}(3sin(x)-sin(3x))$
$Formel: cos^3(x)=\frac{1}{4}(cos(3x)+cos(x))$

Dann hast du:

$Formel: \frac{1}{4}(cos(3x)+cos(x))sin(3x)+\frac{1}{4}(3sin(x)-sin(3x))cos(3x) = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow sin(3x)cos(3x)+3sin(3x)cos(x) + 3sin(x)cos(3x)-sin(3x)cos(3x) = 3\\ \Leftrightarrow 3sin(3x)cos(x)+3sin(x)cos(3x) =3\\ \Leftrightarrow sin(3x)cos(x)+sin(x)cos(3x) =1$

Jetzt folgendes benutzen: $Formel: sin(x)cos(y) = \frac{1}{2}(sin(x-y)+sin(x+y))$

$Formel: \frac{1}{2}(sin(3x -x)+sin(3x+x)) + \frac{1}{2}(sin(x -3x)+sin(x+3x)) = 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}(sin(2x) + sin(4x) + sin(-2x) + sin(4x)) = 1$

Da $Formel: sin(-x) = -sin(x)$ ist:

$Formel: \frac{1}{2}(sin(2x) + 2sin(4x) - sin(2x)) = 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}(2sin(4x)) = 1\\ \Leftrightarrow sin(4x) = 1$

somit ist $Formel: x=\frac{1}{8}\pi +2 k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Img Grunde habe ich nur eine Matheformelsammlung benutzt und mit Cos und Sin gespielt.

Gruß
illuxio

Beitrag zuletzt geändert: 12.10.2011 12:33:52 von illuxio
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