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Gestreckte Länge einer Spirale bestimmen

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  1. Autor dieses Themas

    fatfox

    Kostenloser Webspace von fatfox

    fatfox hat kostenlosen Webspace.

    20:53, 21.2.2009
    Hi@all

    Es ist zwar kein elektrisches Problem, aber entfernt ein technisches deswegen habe ich mich für diesen Platz hier entschieden.

    Ich sitze gerade an folgendem Problem:

    Ich möchte die gestreckte Länge einer Spirale bestimmen. (die Länge einer aufgewickelten Papierbahn)

    Gegeben könnte hierzu sein:

    * der Durchmesser des Kerns aufdem das Material aufgewickelt wird (d1) z.B. 40mm
    * der Durchmesser des Kerns mit Material am Ende des Vorgangs (d2) z.B. 170mm
    * die Dicke einer einzelnen Lage des Materials (D) z.B. öhh relativ dünn < 0,5 mm

    Gescucht ist:

    * die gestreckte Länge l der Spirale

    Nun hatte ich folgende Idee:

    Ich berechne die Fläche die dem Aufspulkern entspricht (A1) A1 = pi x (d1 / 2)²

    dann berecne Ich mir die Fläche des ganzen Wickels (A2) A2 = pi x (d2 /2)²

    Jetzt subtrahiere ich A1 von A2 und erhalte (A3) A3 = A2 - A1

    Jetzt könnte ich (zumindest in etwa) die Anzahl der Lagen (n) ausrechnen indem ich A3 durch die Dicke einer Einzellage dividiere
    n = A3 / D

    Jetzt wollte ich mir den Kreisumfangumfang hernehmen und die gestreckte Länge ausrechnen indem ich die Anzahl der Lagen mit
    dem Umfang multipliziere.

    Das Blöde ist jetzt das sich Anfangs- und End - Durchmesser sehr deutlich unterscheiden (ca. 40mm zu ca. 170mm) das heißt ich
    mache da sicher einen riesigen Fehler weil sich der Umfang jeder Lage sicherlich deutlich unterscheidet.
    Jetzt könnteich zwar über die Anzahl der Lagen iterieren (die ja auch schon falsch ist) und die Ergebnisse aufsummieren aber ich
    wollte die Sache eigentlich möglichst einfach halten weil ich keine Leuchte in Mathe bin.

    Die Frage ist jetzt: Geht das überhaupt auf einfache Weise ? Oder muss es zwingend ein Integral werden ? oder
    Habt ihr ev. einen anderen Lösungsansatz ?

    Zum Hintergrund: Ich brauche die Länge der aufgewickelten Papierbahn um eine Abschätzung des Gewichts machen zu können das ein
    voller Wickel erreicht, die Breite der papierbahn ist bekannt und das relative Gewicht des Materials ist auch bekannt (65g/m²)

    Für Hilfe und Lösungsansätze danke ich Euch im vorraus.

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  3. kalinawalsjakoff

    Kostenloser Webspace von kalinawalsjakoff

    kalinawalsjakoff hat kostenlosen Webspace.

    22:02, 21.2.2009
    Du gehst leider ein wenig vom falschen Ansatz aus, das sagt mir mein Bauchgefühl. Genaue Vorschläge kann ich dir nicht machen aber ich kann dir erklären so gut wie es geht.

    Deine Papierspule, hat einen bestimmten Durchmesser wenn das Papier auf der Rolle also dem Kern komplett drauf ist. Dein Kern hat ohne Material auch einen ganz bestimmten Durchmesser. Demenetsprechend haben die beiden Spulen (mit und ohne Material) jeweils einen eigen bestimmten Umfang. Der berechnet sich aus U=d mal pi. (jeweils mit den Werten mit und ohne Papier zu sehen.

    Jetzt besteht aber folgendes Problem: Der Umfang beispielsweise für eine Lage Papier rechnet sich aus u=d (des kerns) mal pi + die 0,5 mm Materialstärke für die zweite lage u=d kern mal pi + 2 mal 0,5 mm Materialstärke und so weiter. Was für jede bahn einen größeren Umfang bedeutet. also auch mehr länge. Und die versychiedenen Umfänge zusammengerechnet ergeben dann quasi die Papierlänge. Jetzt gehst du davon aus, daß dein Ausendurchmesser (also normalerweise Material) 130 mm ist und den müßtest du durch 0,5 mm Materialstärke nehmen, dann kommst du auf 260 Bahnen. Den Umfang jeder einzelnen Bahn kannst du so ausrechnen oder über eine Mathematische Reihe. Und die Umfänge zusammenaddiert ergibt die länge deines Papierstücks

    Überleg dir den Ansatz weiter und dann verstehst du was ich meine.

    Würde dir vorschlagen bau dir ein kleines Programm meinetwegen mit Javascript und einer Schleife, welches dir das dann ausrechnet :)

    Beitrag zuletzt geändert: 21.2.2009 22:12:11 von kalinawalsjakoff

  4. c*****s

    1:50, 24.2.2009
    Was du da hast ist eine archimedische Spirale. Da gibt es Formeln für die Länge (=> googlen), die du benutzen kannst.
    Jetzt könnte ich (zumindest in etwa) die Anzahl der Lagen (n) ausrechnen indem ich A3 durch die Dicke einer Einzellage dividiere
    n = A3 / D
    So geht das nicht. Um die Anzahl der Windungen herauszufinden berechnest du einfach Formel: \frac{r_1-r_2}{0.5} = \frac{85-20}{0.5} = 130.

    Das hier ist die Formel für die archimedische Spirale:
    Formel: l = \frac{1}{2} a \left(\sqrt{\phi ^2+1} \phi +\ln\left(\phi +\sqrt{\phi ^2+1}\right)\right)

    Wobei Formel: 2 \pi a = 0.5 (\Rightarrow a = \frac{1}{4\pi}) der Durchmesser des Bands ist und Formel: \phi = n\cdot2\pi, mit n als Anzahl der Windungen, vorausgesetzt, dass die Spirale wie eine Lakritzschnecke im Mittelpunkt beginnt. Das das hier nicht der Fall ist, müssen wir die Länge der gesamten Spirale, die im Mittelpunkt beginnt mit 85/0.5 = 170 Windungen berechen und davon die des Innenteils mit 20/0.5 = 40 Windungen abziehen. Das ganze ergibt dann:
    Formel: \\ \frac{\ln \left(\sqrt{(340 \pi )^2+1}+340 \pi \right)+340 \pi \sqrt{(340 \pi )^2+1}}{8 \pi }- \\ \frac{\ln\left(\sqrt{(80 \pi )^2+1}+80 \pi \right)+80 \pi \sqrt{(80 \pi )^2+1}}{8 \pi } = 42882.8

    Wir haben in mm gerechnet, also haben wir 42.9 Meter!

    Es gibt aber noch einen sehr viel einfacheren Weg, das Ergebnis anzunähern. Das abgewickelte Band ist ja nur ein sehr langes Rechteck mit dem Flächeninhalt 0.5 mal der Länge, wenn wird dieses Band nun auf die Spirale aufwickeln, dann müsste die ganze Fläche dieses Rechteck sich ungefähr in dem Ring befinden, also ist der Ansatz:Formel: l\cdot0.5 = \pi 85^2 - \pi 20^2 daraus ergibt sich eine Länge von 42.8 Metern.

    Um so kleiner die Spirale ist, umso schlechter ist die Annäherung, denn wenn das Band gewickelt wird, wird es ja "geknautscht", d. h. die Fläche die es im gewickelten Zustand einnimmt ist kleiner als im abgewickelten (als Rechteck), aber dieser Effekt fällt natürlich bei so vielen Windungen kaum ins Gewicht.

    Beitrag zuletzt geändert: 24.2.2009 1:53:29 von caiexus
  5. Autor dieses Themas

    fatfox

    Kostenloser Webspace von fatfox

    fatfox hat kostenlosen Webspace.

    17:50, 24.2.2009
    Wie konnte ich auch glauben das ich der erste mit dem Problem bin *g*
    (gegooglet hatte ich aber schon, nur hift das ohne das richtige stichwort wenig, spirale + gestreckte Länge war halt ein bissel allgemein)

    der Ansatz gefällt mir und geht von der komplexität her sehr viel mehr in die richtung die ich mir vorgestellt hatte als die geschichte mit den reihen von umfängen die ja streng genommen auch nicht 100% korekt wären, ich werde das jetzt experimentell überprüfen und wenn die abschätzuung genau genug ist dann werden wir das so nehmen, besten Dank für Eure Mühe bis hier her, ich lassse euch wissen was rauskommt.

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