Fouriertransformation mit Skalierung

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~~f*b~~

11:19, 13.11.2012
Hallo zusammen,
Ich habe eine Frage für Mathematiker und theor. Physiker...
Kurz gesagt transformieren wir die Zeit $Formel: t$ mit Fouriertrafo auf die komplexe $Formel: \tau$ -Variable. Dann betrachten wir eine Lokalisierungsfunktion $Formel: \chi$ im Ort, mit Zeit-Skalierungsfaktor (=1 in einer Umgebung von $Formel: x=x_0$ , =0 ausserhalb einer grösseren, dazwischen glatt) das heisst $Formel: \chi(|\tau| x)$ . Wie soll ich nun im Nicht-Fourier-Sinn folgendes interpretieren:
$Formel: \chi(|\tau| x) \hat{w}(x,\tau)$ , wobei $Formel: \hat{w}(x,\tau)$ die Fouriertransf. einer zeitabh. Funktion w ist?

Genauer:

Sei K ein Kegel mit Öffnungswinkel [latex]\alpha [/latex] und mit Ecke im Nullpunkt. Wir betrachten zeitabhängige Funktionen $Formel: w(x,t), t \in \mathbb{R}, x \in K.$
Sei $Formel: \gamma > 0$ eine gegebene reelle Zahl und sei $Formel: \tau = \sigma - i \gamma$ . Betrachte $Formel: F$ , die Fouriertransformation, die die t-Variable nach $Formel: \tau$ schickt, d.h. eigentlich nach einer für gewähltes $Formel: \gamma$ fixen vertikalen Geraden in $Formel: \mathbb{C}$ .
Nun möchte ich wissen, wie ich
$Formel: F^{-1}[ \chi(|\tau| x ) F[w(x,t)](\tau) ]$
berechne, wobei $Formel: \chi(y)$ eine Lokalisierungsfunktion, =1 in einer Umgebung des Nullpunkts und =0 ausserhalb, aber mindestens st. differenzierbar.

Kann mir jemand helfen? Ich sollte es wissen, aber...

Gruss
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bettcrew

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4:02, 18.11.2012
Es ist schwer dir zu helfen, wenn man nicht die genau Aufgabe kennt und nur ein paar Brocken hingeworfen bekommt.
Autor dieses Themas
~~f*b~~

11:50, 20.11.2012
Das war die ganze Aufgabe, steht alles da...

Mittlerweile konnte ich das Problem auf Folgendes reduzieren:

Sei $Formel: D$ ein beschränktes Gebiet mit $Formel: 0 \in \partial D$ .
Für $Formel: p>0$ sei $Formel: \chi_{p}$ die charakteristische Funktion auf dem Intervall $Formel: [0, 1/p]$ . Für Polarkoordinaten $Formel: (r, \theta)$ und $Formel: \beta \in (0,1)$ , zeige dass eine positive Konstante $Formel: C$ existiert, so dass für alle $Formel: u \in L^2(D)$ mit Spur $Formel: tr(u)=0$ (Nullrandbedingungen) gilt:
$Formel: \int_D r^{2(\beta-1)} |u(x)|^2\,dx \leq C \int_D r^{2(\beta-1)} \chi_p(r)^2 |u(x)|^2\,dx$ .

Ich habe erst das Elementare...
$Formel: \int_D r^{2(\beta-1)} \chi_p(r)^2 |u(x)|^2\,dx = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^{2(\beta-1)} |u(r,\theta)|^2\,rdr\,d\theta$ ,
wobei $Formel: R=\min(1/p, diam(D))$ .

Jemand ne Idee?

Gruss
f
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