Extremwertaufgabe

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kevinweiler

kevinweiler hat kostenlosen Webspace.

16:35, 12.10.2011
Komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:
Die Graphen von f mit f(x) = 0,5x^2 + 2 und g mit g(x) = x² - 2x + 2 schließen eine Fläche ein. Die Parallele zur y - Achse mit der Gleichung x = u verlaufe durch diese Fläche. Für welches u ist der Abstand der Funktionswerte f(u) und g(u) maximal ? Wie lang ist der maximale Abstand ?

Muss ich dort eine neue Funktion bilden ?
h(x) = f(x) - g (x)
diese dann ableiten und extremstellen berechnen `?

Könnt ihr mir weiterhelfen ?
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illuxio

illuxio hat kostenlosen Webspace.

20:22, 12.10.2011
Es würde helfen, wenn du die Aufgabe mal 1 zu 1 abtippen würdest, weil so wie du das beschreibst, gibt es ein Problem.

Wie man hier unschwer erkennen kann, schließen die Graphen 3 Flächen ein.

Fläche 1: $Formel: x \leq 0$
Fläche 2: $Formel: 0 \leq x \leq 4$
Fläche 3: $Formel: 4 \leq x$

Bei Fläche 1 & 3 wird der Abstand von f und g immer größer.

$Formel: lim_{x \rightarrow \infty} |f(x) - g(x)| = \infty$

Bei Fläche 2 ist der maximale Abstand:

$Formel: U(x) = F(x) - G(x), 0 \leq x \leq 4$
Damit berechnest du die Fläche 2.

Folglich wäre
$Formel: U'(x)=u(x)=0 \wedge U''(x)\neq0$
ein Extremwert und so auch die Stelle mit dem größten Abstand von f und g im Bereich
$Formel: 0 \leq x \leq 4$

So welche der Antworten richtig ist, muss du uns jetzt sagen.
Autor dieses Themas
kevinweiler

kevinweiler hat kostenlosen Webspace.

20:39, 12.10.2011
Das Problem ist, leider denkt sich unser Lehrer die Aufgaben immer selber aus und genau so wie ich die Aufgabe geschrieben habe, ist sie so.
illuxio

illuxio hat kostenlosen Webspace.

20:59, 12.10.2011
Dann würde ich beide das Ganze als eine Antwort verpacken und das dem Lehrer so sagen, dass es laut Aufgabenstellung so richtig ist.

Habe ich damals auch mal gemacht. Ich sollte den mist an der Tafel präsentieren und habe einfach die Analyse präsentiert und dann gesagt, dass der Abstand gegen Unendlich läuft (weil nichts ist größer als Unendlich). Fertig!

Er hat dumm geschaut und gemeint, dass das nicht die Aufgabe war. Und ich meinte doch und habe den Lehrer aufgefordert einen Mitschüler die Augabe nochmal vorzulesen zu lassen, die er sich ausgedacht hatte.

Naja, ich habe meine 1 bekommen :D

Gruß
Stefan

Beitrag zuletzt geändert: 12.10.2011 21:00:08 von illuxio
aero23

aero23 hat kostenlosen Webspace.
2:54, 13.10.2011
f(x) = 0,5x^2 + 2
g(x) = x² - 2x + 2
u ist parallel zu y
x=u
bei welchem x ist der abstand zwischen f(x) und g(x) innerhalb der fläche am größten.
-------------
-------------
u=2
```
u = x | 0 |   1 | 2 |   3 |  4
f(x)  | 2 | 2,5 | 4 | 6,5 | 10
g(x)  | 2 |   1 | 2 |   5 | 10
--------------------------------
-     | 0 | 1,5 | 2 | 1,5 |  0
-------------
-------------
u=2
```
vertrauen ist gut, kontrolle ist besser.

Beitrag zuletzt geändert: 13.10.2011 15:53:00 von aero23
illuxio

illuxio hat kostenlosen Webspace.

11:11, 13.10.2011
Stimmt u ist eine Wert, aber u(x) ist eine Funktion und U(x) ist die Stammfunktion und gesucht wird u(u) ist max. und u'(u) nicht 0. :D

Gruß
illuxio
aero23

aero23 hat kostenlosen Webspace.
15:48, 13.10.2011
u ist eine linie die parallel zu y verläuft
der anstieg ist unendlich
die beiden parabeln schließen nur eine fläche ein
und es gibt nur ein wert bei dem der abstand zwischen den parabeln am größten ist

Abstand der Funktionswerte f(u) und g(u) maximal ?
```
y1 = y2
0,5x² + 2 = x² - 2x + 2
0 = 0,5x² - 2x

x     | 0 |    1 |  2 |    3 |  4
y     | 0 | -1,5 | -2 | -1,5 |  0
-------------------------------------
u = x | 0 |    1 |  2 |    3 |  4
-------------------------------------
f(x)  | 2 |  2,5 |  4 |  6,5 | 10
g(x)  | 2 |    1 |  2 |    5 | 10
-------------------------------------
-     | 0 |  1,5 |  2 |  1,5 |  0
```
wertetabelle zeichen
parabeln f(x) und g(x) in den graphen zeichen
lösung ablesen u=2
beide parabeln gleichsetzen
wertetabelle zeichnen
parabel in den graphen zeichen
scheitelpunkt ermitteln
x=u=2

Beitrag zuletzt geändert: 13.10.2011 15:49:08 von aero23
illuxio

illuxio hat kostenlosen Webspace.

18:28, 13.10.2011

aero23 schrieb:
die beiden parabeln schließen nur eine fläche ein

Das ist wirklich nicht ganz korrekt, da

sowohl $Formel: lim_{x \rightarrow -\infty} g(x) = lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ als auch $Formel: lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ . Somit hat man 3 Fläschen.

Gruß
illuxio

Beitrag zuletzt geändert: 13.10.2011 18:30:28 von illuxio
aero23

aero23 hat kostenlosen Webspace.

23:49, 13.10.2011

illuxio schrieb:

aero23 schrieb:
die beiden parabeln schließen nur eine fläche ein

Das ist wirklich nicht ganz korrekt, da

sowohl $Formel: lim_{x \rightarrow -\infty} g(x) = lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ als auch $Formel: lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ . Somit hat man 3 Fläschen.

Gruß
illuxio

wenn du es so sehen willst sind es sogar 5 flächen
ne 4
oder ne ich glaub es sind sogar 6
hm öhm ne 9

Beitrag zuletzt geändert: 13.10.2011 23:53:47 von aero23
tangoal

tangoal hat kostenlosen Webspace.

7:43, 14.10.2011

illuxio schrieb:

aero23 schrieb:
die beiden parabeln schließen nur eine fläche ein

Das ist wirklich nicht ganz korrekt, da

sowohl $Formel: lim_{x \rightarrow -\infty} g(x) = lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ als auch $Formel: lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ . Somit hat man 3 Fläschen.

Ja, illuxio, wenn man sich soo weit entfernt von den Graphen, dann sieht das alles nur noch wie ein klitzekleiner Punkt aus. Dann gibt es auch keine Flächen mehr, sondern nur noch einen Punkt. Eine wirklich schöne Erkenntnis. Zumal unendlich nicht gleich unendlich ist...

Beitrag zuletzt geändert: 14.10.2011 7:44:16 von tangoal
darkpandemic

darkpandemic hat kostenlosen Webspace.

19:01, 14.10.2011
Hallo kevinweiler,

Dein Ansatz mit der Funktion h(x) ist schon Richtig. h(x) ist ja dann genau der Abstand von f und g an der Stelle x und u ist das x mit maximalem |h(x)| (Betrag).
Jetzt muss Du nur eine Kurvendiskussion durchführen, d.h. 1. Ableitund von h(x) berechnen und Nullstellen bestimmen.
2. Ableitung bestimmen und schauen, ob sie ungleich Null sind.
Danach dann an den Extrempunkten schauen, was Betragsmäßig am größten ist.
Fertig.
aero23

aero23 hat kostenlosen Webspace.
21:51, 14.10.2011
abfrage dings

hey das is ganz cool. kann man sich selbst über solche themen mal abfragen lassen. hab 2,1 das reicht glaube für den alltag.
```
y1 = y2
0,5x² + 2 = x² - 2x + 2
0 = 0,5x² - 2x

f' = x - 2
0 = x - 2
x = 2
```
ich glaub das mit der ableitung ist am einfachsten

Beitrag zuletzt geändert: 14.10.2011 22:47:41 von aero23
earlyup

earlyup hat kostenlosen Webspace.

1:03, 19.11.2011
http://funktion.onlinemathe.de/

das kann bei ableitungen auch weiterhelfen :)
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