Exponent < 1
lima-city → Forum → Sonstiges → Schule, Uni und Ausbildung
bedienen
bocken
exaktes ergebnis
frage
funktion
genaue ergebnisse
gleiche macht
idee
jemand
liebe leute
multiplikation
nenner
passende wurzel
reelle zahl
tag
taschenrechner
term
ungenaue ergebnisse
wunderbar ablesen
wurzel
-
Guten Tag, liebe Leute.
Ich habe da mal eine Frage: Gibt es eine Möglichkeit, beispielsweise x^0.5 oder x^0.0304458 schriftlich auszurechnen, ohne sich einer Wurzel, zu bedienen?
Bin da schon längere Zeit am suchen, finde aber ständig nur \"Wurzel hier\", \"Wurzel da\" etc... Also genau das, was ich nicht möchte.
Jemand eine Idee? -
Diskutiere mit und stelle Fragen: Jetzt kostenlos anmelden!
lima-city: Gratis werbefreier Webspace für deine eigene Homepage
-
Edit: meinst du mit schriftlich ausrechnen, wirklich ohne Taschenrechner etc.? Dann wird das mit der Exponentialfunktion auch nicht einfacher (ausser du besorgst dir nenn Plot der Funktion, dann kannste auch den ln wunderbar ablesen).
Ja, ich meine wirklich ohne Taschenrechner. Ansonsten könnte ich es auch einfach so in den Taschenrechner eingeben und würde mein Ergebnis bekommen :P
-
x^0.5 ist nunmal die Quadratwurzel von x, also einfacher lässt sich das in dem Fall nicht ausrechnen (dafür braucht man auch keinen Taschenrechner ....).
Wenn du mit Exponentialfunktionen rechnest, brauchst du zwar die Wurzel nicht, aber dafür brauchst du nen Taschenrechner oder bekommst ungenaue Ergebnisse. -
Für den Logarithmus und die Exponentialfunktion gibt es Reihenentwicklungen:
ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
exp(x) = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + x^5/120 + x^6/720 + ...
(Die Nenner sind jeweils k!, also k*(k-1)*(k-2)*(k-3)*...*3*2*1)
Dann wie ttobsen schon dargestellt hat:
x^0,5 = exp(0,5*ln(x))
ln(x) approximierst du dann mit obiger Potenzreihe (setzt dort also auf der rechten Seite x-1 ein - geht allerdings nur in dem Bereich 0 < x < 2. Für größere x berechnest du nicht ln(x), sondern ln(1/x) und multiplizierst das Ergebnis mit -1, denn ln(x) = -ln(1/x)). Das Ergebnis multiplizierst du mit 0,5 und setzt es in die untere Reihe ein.
Also z.B:
3^0,5 = exp(0,5 * ln(3))
Da 3 > 2 berechnen wir ln(1/3), indem wir in die Reihe -2/3 einsetzen:
-2/3 - (2/3)^2/2 - (2/3)^3/3 - ... (danach wird mir das zu aufwändig, aber theoretisch bräuchtest du für ein halbwegs exaktes Ergebnis deutlich mehr Summanden vermutlich)
= -2/3 - 2/9 - 8/81 = -54/81 - 18/81 - 8/81 = -80/81
Es ist also:
ln(3) = -ln(1/3) = 80/81
Nun setzen wir in die Exponentialreihe 40/81 ein:
exp(40/81) = 1 + 40/81 + (40/81)^2/2 + (40/81)^3/6 + ... (da habe ich nun WIRKLICH keinen Bock drauf, das im Kopf zu machen, ist aber nur multiplikation und Division, ist also möglich).
Ich komm damit ungefähr auf 1,63583.
Gebe ich direkt Wurzel 3 ein, komme ich auf 1,73205. Man braucht also wie gesagt deutlich mehr Terme um auf halbwegs genaue Ergebnisse zu kommen.
Das zeigt, was alle hier bereits gesagt haben: Die passende Wurzel ausrechnen ist - abgesehen vom Taschenrechner benutzen, der übrigens das gleiche macht, was wir hier gemacht haben, nur mit DEUTLICH mehr Termen - der einfachste Weg. -
Diskutiere mit und stelle Fragen: Jetzt kostenlos anmelden!
lima-city: Gratis werbefreier Webspace für deine eigene Homepage
