Epsilon-Konvergenzbeweise
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Hallo,
Ich merke dass ich einfach n Problem hab mit dem Epsilon-Konvergenzbeweis.
Was muss ich finden, in Abhängigkeit wovon etc. wenn ich bei einer Folge Konvergenz nachweisen soll und es mit den üblichen Tricks nicht geht?
Ich meine, ich sehe die Beweise aus den Übungen durch und verstehe irgendwie Schritt für Schritt was wir machen, aber den Überblick verliere ich.
Kann mir jemand mal einfach sagen, wie ich vorgehen muss?
danke!
gruss
fab -
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Wie lautet denn die Folge?
Allgemein gilt:
Eine Folge <a_n> hat den Grenzwert α genau dann wenn sich fast alle Folgeglieder (alle bis auf endlich viele) in der ε-Umgebung von α befinden.
Eine Folge heißt konvergent wenn es einen Grenzwert gibt.
z.B.:
<a_n> =<(1 + 1/n)>
α = lim( 1 + 1/n ) = 1 (der lim wandert mit n gegen unendlich)
=> Folge ist konvergent (α=1)
aber
<a_n>=<(n)>
α = lim(n) = unendlich. (der lim wandert natürlich wieder mit n gegen unendlich)
=> Folge ist NICHT konvergent (weil unendlich keine reele Zahl ist.)
gar nicht sooo schwer
mfg qixi
Beitrag geändert: 12.11.2007 13:11:31 von qixi -
fab schrieb:
Hallo,
Ich merke dass ich einfach n Problem hab mit dem Epsilon-Konvergenzbeweis.
Was muss ich finden, in Abhängigkeit wovon etc. wenn ich bei einer Folge Konvergenz nachweisen soll und es mit den üblichen Tricks nicht geht?
Ich meine, ich sehe die Beweise aus den Übungen durch und verstehe irgendwie Schritt für Schritt was wir machen, aber den Überblick verliere ich.
Kann mir jemand mal einfach sagen, wie ich vorgehen muss?
danke!
gruss
fab
Eine Folge a_n konvergiert gegen den Grenzwert g, wenn für jedes ε > 0 ein N existiert, so dass gilt
|a_n - g| < ε für alle n >= N (#)
Man muss also zeigen, wenn ε so und so ist, muss N so sein, und es gilt
|a_n - g| < ε für alle n >= N
N ist natürlich von ε abhängig!
In den Aufgaben, wo man dieses ε finden will, geht man ja meist "die falsche Richtung", d. h. man rechnet mit der Ungleichung so lange rum bis man nach n aufgelöst hat. Korrekter wäre es wenn man mit dem "Ergebnis anfängt", also einfach sagen würde, so sieht mein N aus in Abhängigkeit von ε, also N(ε ) = ... und jetzt schauen wir mal, ob (#) gilt.
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N(Epsilon) muss ich also finden. Genau das habe ich mich gefragt, danke.
Rate ich da oder gibt es elegantere Wege, dieses N zu finden?
In meinen Notizen steht da oft "Sei Epsilon=1/N" oder so. Warum, wie kommt man darauf? -
fab schrieb:
N(Epsilon) muss ich also finden. Genau das habe ich mich gefragt, danke.
Rate ich da oder gibt es elegantere Wege, dieses N zu finden?
Also man hat diese Ungleichung
|a_n - g| < ε
und die löst man nach n auf. So kommt man zu dem Ergebnis.
Beispiel:
a_n = 1/n soll gegen Null konvergieren
|1/n - 0| < ε
da immer positiv, kann der Betrag wegfallen
1/n < ε
<=>
1/ε < n
Den Beweis schreibt man dann besser andersrum auf:
also: für ε beliebig und n>= N(ε ) > 1/ε, N(ε ) aus IN gilt:
|1/n - 0| <= |1/N(ε )| = 1/N(ε ) < 1/(1/ε ) = ε
In meinen Notizen steht da oft 'Sei Epsilon=1/N' oder so. Warum, wie kommt man darauf?
Also das verstehe ich auch nicht, ε soll ja frei wählbar sein, und N variieren.
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Das macht man deshalb um direkt zu jeder Schranke N das passende n angeben zu können.
Was für eine Schranke soll N sein? Und wieso passendes n?Im Prinzip ist die Wahl des eps voll Wurscht, man muss nur zeigen das es eben für jedes gilt (und das tut es mit obiger Abschätzung).
Mir geht es um den Zweck dieser Formulierung, das vereinfacht ja nichts, außer dass man sich den Satz spart:
"Sei ε beliebig und N die kleinste natürliche Zahl, die größer ist als 1/ε."
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Nun ja, N=1/eps oder eps=1/N sind ja aequivalent zueinander, daher kommts wohl nicht so drauf an...
Das hat mich einfach immer verwirrt, da ich dann in meinem Hinterkopf die Vorstellung hatte, ich müsse Epsilon in Abhängigkeit von N bestimmen...
Um weiter zu nerven noch das: was mache ich wenn eine Fakultät vorkommt, wie löse ich das auf?
2 Beispiele die mir einfallen und die ich nicht lösen könnte:
(1) z.z.: x_n:=1/(8^n-7^n) konvergiert gegen 0 für n->unendlich
(2) z.z.: x_n:=1/(x!) konvergiert auch gegen 0 für n gegen unendl.
danke für eure Hilfe!
gruss
fab
/edit:
Das macht man deshalb um direkt zu jeder Schranke N das passende n angeben zu können.
Was für eine Schranke soll N sein? Und wieso passendes n?
ich glaube ttobsen meinte "...um direkt zu jedem N das passende -epsilon- angeben zu können", nicht n...
Beitrag geändert: 13.11.2007 20:31:14 von fab -
Nun ja, N=1/eps oder eps=1/N sind ja aequivalent zueinander, daher kommts wohl nicht so drauf an...
Ja, das habe auch noch alleine rausgekriegt
Das hat mich einfach immer verwirrt, da ich dann in meinem Hinterkopf die Vorstellung hatte, ich müsse Epsilon in Abhängigkeit von N bestimmen...
Deswegen mag ich diese Formulierung nicht. Ich mags sauberer, also dass man wirklich N(ε ) konkret angibt. Das ist das einzige worum es mir hier ging, die (minimale) Zeitersparnis rechtfertigt das IMHO auch nicht.
a_n = 1/n => 0 ?
N(ε ) = aufrunden((1/ε ) + 1)
|1/n - 0| = |1/n| <= |1/N| < |1/(1/ε )| = ε
geht auch schnell!!!
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Das + 1 ist nur dafür da, damit man wirklich mit < abschätzen kann (und nicht nur mit <= ).
Wenn z. B. ε = 1/4, dann gilt N = 4 und die Abschätzung funktioniert nicht.
Also eine reine Formalität. -
Aso. Kann man sich aber sparen da laut Definition n > N gilt, da passt dann die Abschätzung trotzdem noch auch für <=.
Nach meiner nicht, oben hab ich ja geschrieben:
|a_n - g| < ε für alle n >= N
so jetzt ist aber gut, ttobsen!!! ;)
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