Drittewurzel imaginär?
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Noja also ich hätte mal ne Frage:
Ich verstehe ja das es keine Quadratwurzel von negativen Zahlen geben kann.
Wieso ist aber die dritte Wurzel von ner negativen Zahl auch nicht real lösbar sondern nur imaginär?
Ich meine -3 hoch 3 ergibt -27, aber die dritte Wurzel ist nicht -3, sondern so ne imaginäre Zahl mit i.
Weiß nich ob die Frage dumm ist, nur ich und n Kumpel diskutieren da jedesmal mit der Lehrerin und Achtung: Wir haben imaginäre Zahlen in der Schule erst nächstes Jahr.
Deshalb wahrscheinlich das Unwissen und unsere Lehrerin kann das da halt auch nich richtig erklären. -
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Die dritte Wurzel aus -27 ist auf jeden Fall -3 ...
Imaginäre Lösungen kann ich mir hier nicht vorstellen, da man immer ein i "übrig" hätte.
Wie kommst du darauf, dass die dritte Wurzel aus -27 nicht -3 sein sollte ?
Grüße dapizzafressa -
Die dritten Wurzeln von -27 sind (jetzt gut aufpassen):
3/2 + 3i*Sqrt(3)/2
-3
3/2 - 3i*Sqrt(3)/2
(Sqrt(n) ist die Quadratwurzel aus n)
Wichtig ist halt, dass es genau 3 dritte Wurzeln aus jeder Zahl (ausser 0) gibt, genau wie es genau 2 Quadratwurzeln aus jeder Zahl gibt, genau 4 vierte Wurzeln und genau n n-te Wurzeln. Das ist das Resultat des Fundamentalsatzes der Algebra.
Die n-te Wurzel ist also keine Funktion, genauso wie z.B. arcsin (oder manchmal auch sin^-1 genannt). Wenn du z.B. wissen willst, bei welchem Winkel der Sinus den Wert 1 annimmt, dann gibst du ja "arcsin(1)" in den Taschenrechner (oder ins Algebra-Programm) ein. Dein Taschrechner liefert dir dann den korrekten wert Pi/2. Dennoch wird der Sinus z.B. auch an der Stelle 5*Pi/2, 9*Pi/2 oder 13*Pi/2 immer 1. Der arcsin ist also eigentlich keine echte Funktion und der Rechner gibt nur den kleinsten Wert an.
Genauso ist es bei der n-ten Wurzel (Du erinnerst dich vielleicht, dass ihr immer, wenns Quadratische Gleichungen zu lösen gab zwei Lösungen gab, nmälich Plusminus irgendwas. Das ist ein Ausdruck dafür, dass die Quadratwurzel zwei werte annimmt). Es gibt einfach n verschiedene Werte, die mit n exponentiert irgendeinen Wert ergeben. Der Taschenrechner hat auch hier wieder ne konkrete Vorschrift, um den angegeben Wert zu bestimmen (bei reellen mehrwertigen "Funktionen" nimmt er den kleinsten). Diese Vorschrift lautet: Nimm den, mit der kleinsten Phase (was die Phase einer komplexen Zahl ist, lernt ihr dann nächstes Jahr). Das ist aber bei der dritten Wurzel eine komplexe Zahl, nämlich 3/2 + 3i*Sqrt(3)/2, die hat die Phase Pi/3. -3 wiederum hat die Phase Pi. Deswegen zeigt der Rechner eine komplexe Zahl an.
Das heisst aber nicht, dass -3 nicht die dritte Wurzel aus -27 ist.
Beitrag geändert: 14.8.2008 21:06:43 von merovius -
Danke für die Erklärung
In Mathe war ich sonst immer ein Ass (BLF-Bester)
Aber vor solchen Sachen wie imaginären/komplexen Zahlen und Vektoren und so da grauts mir echt.
Mies wenn man den Leistungskurs macht.
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Danke für die Erklärung
In Mathe war ich sonst immer ein Ass (BLF-Bester)
Aber vor solchen Sachen wie imaginären/komplexen Zahlen und Vektoren und so da grauts mir echt.
Mies wenn man den Leistungskurs macht.
In der Tat. Komplexe Zahlen sind etwas wunderbares (und eigentlich auch nicht schwer, besonders, wenn man sich als Ass bezeichnen kann ;) ). Vektoren sind, soweit es die Schule betrifft, leider kotzlangweilig. Schwer aber auch nicht wirklich ;)
Naja, ich denke mal, der thread kann dann geschlossen werden, -
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