Berechnen von einem Durchmesser durch Abzug von Windungen

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ibaas

ibaas hat kostenlosen Webspace.

9:03, 25.2.2023
Hallo zusammen,

ich bin schon seit längerem dabei, eine Exceltabelle zum berechnen von Coil Durchmesser, Längen Windungen, usw. zu erstellen. Bin damit auch soweit fertig und zufrieden bis auf eine Sache.
Die Berechnung eines neuen Coils (z.B. Rolle Klebeband, Rolle Toilettenpapier, Lakritzschnecke etc.) durch Abzug von Windungen eines anderen Coils.

Ich versuche mal, es so präzise wie Möglich zu erklären.

Alle Angaben sind gerundet und je nach Einsatzmaterial variabel.
Ausgangsdaten des Coils:

Außen Durchmesser (AD): 1800 mm
Innen Durchmesser (ID): 500 mm
Materialstärke (t): 2 mm

Dadurch ergibt sich eine:

Bandlänge (l): 1174 m
Anzahl Windungen (n): 325

Und nun fängt mein Problem an.
Wenn ich vom Außendurchmesser (1800) eine bestimmte Anzahl von Windungen (n) abnehme, sagen wir mal 25 und diese 25 Windungen auf einen neuen Kern (ID 500) aufwickele, wie ist dann der neue Außendurchmesser des Einsatzmaterials und der Durchmesser des neu aufgewickelten Coils?

An diesem Problem bin ich schon seit Monaten das Internet am durchsuchen. Ich habe zwar einige Formeln gefunden, kann damit aber nichts anfangen (bin ein älteres Semester mit nur Hauptschulabschluss) und hoffe hier eine einfache Formel oder zumindest eine Erklärung zu finden die ich verstehe.

Ich bedanke mich schon mal im voraus für die Mühen

Werner
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fuerderer

fuerderer hat kostenlosen Webspace.

12:28, 25.2.2023
Hallo Werner,

schöne Geometrie-Frage. Dann versuche ich einmal mein Glück, ich hoffe es wird verständlich.

Die Theorie

Klebeband und Toilettenpapier sind zwar räumliche Objekte, aber wir können die Ansicht auf den Querschnitt und damit zwei Dimensionen reduzieren. Die Breite des Bands wird dabei ausgeblendet. Nur die Länge und Dicke spielen noch eine Rolle.

Wenn das Band aufgewickelt ist, stellt es geometrisch einen Kreisring dar. (Siehe Wikipedia-Artikel zum Kreisring, dort ist auch eine Zeichnung mit Formelzeichen, die ich im Folgenden verwenden werde.)

Dieser Kreisring hat einen bestimmten Flächeninhalt. Wird das Band abgewickelt, entsteht ein langes schmales Rechteck (Länge Mal Dicke des Bands) mit gleichem Flächeninhalt. Wird das Band erneut aufgewickelt, entsteht ein neuer Kreisring mit weiterhin gleichbleibendem Flächeninhalt.

Kontrollrechnung

Ich überprüfe einmal deine bisherige Berechnung, um sicher zu stellen, dass ich die Situation richtig verstehe und die Theorie dazu passt.

Du hast einen Coil mit Außendurchmesser D = 1800 mm (Außenradius R = 900 mm)
Der Innendurchmesser d beträgt 500 mm (Innenradius r = 250 mm)
Materialstärke t = 2 mm

Die Anzahl der Windungen ergibt sich einfach aus der Breite des Kreisrings und der Dicke des Materials.
$Formel: n = \frac{R - r}{t}$
$Formel: n = \frac{900 mm - 250 mm}{2 mm}$
$Formel: n = 325$

Für die Bandlänge berechne ich zuerst den Flächeninhalt des Kreisrings.
$Formel: A = \pi \cdot \left(R^2 - r^2\right)$
$Formel: A = \pi \cdot \left((900mm)^2 - (250mm)^2\right)$
$Formel: A = 2348340,5 mm^2$

Daraus ergibt sich dann über die Rechtecksformel die Länge des Bands.
$Formel: l = \frac{A}{t}$
$Formel: l = \frac{2348340,5 mm^2}{2 mm}$
$Formel: l = 1174170 mm = 1174,17 m$

Das passt beides zu deinen Angaben.

Nun zur Fragestellung

Es werden 25 Windungen von dem Coil abgewickelt. Dadurch reduziert sich der Radius um 25 Mal die Dicke des Bands.
Der neue Radius r ist also:
$Formel: r = R - n * t$
$Formel: r = 900 mm - 25 * 2 mm$
$Formel: r = 850 mm$
Der Coil hat also nach dem Abwickeln der 25 Windungen noch einen Außendurchmesser von 2*r = 1700 mm.

Jetzt berechne ich den Flächeninhalt des Kreisrings, der dem abgewickelten Band entspricht. Also ein Kreisring mit Außendurchmesser 1800 mm und Innendurchmesser 1700 mm. Hintergrund ist, dass der selbe Flächeninhalt auch beim erneuten Aufwickeln wieder entsteht.
$Formel: A = \pi \cdot \left(R^2 - r^2\right)$
$Formel: A = \pi \cdot \left((900 mm)^2 - (850 mm)^2\right)$
$Formel: A = 274889,36 mm^2$

Aufgewickelt wird dieses Band nun auf einen Kern mit Innendurchmesser 500 mm (Innenradius r = 250 mm)
Ich kenne außerdem den Flächeninhalt, kenne aber nicht den Außenradius. Deshalb muss ich die Formel für den Flächeninhalt des Kreisrings so umstellen, dass ich den Außenradius R berechnen kann.
$Formel: A = \pi \cdot \left(R^2 - r^2\right)$ | Beide Seiten geteilt durch Pi
$Formel: \frac{A}{\pi} = R^2 - r^2$ | Beide Seiten + r^2
$Formel: \frac{A}{\pi} + r^2 = R^2$ | Ziehe die Wurzel von beiden Seiten (und vertausche die Seiten)
$Formel: R = \sqrt{\frac{A}{\pi} + r^2}$

Jetzt noch die Werte einsetzen und durchrechnen.
$Formel: R = \sqrt{\frac{274889,36 mm^2}{\pi} + (250 mm)^2}$
$Formel: R = 387,3 mm$

Der neu aufgewickelte Coil hat am Ende einen Außendurchmesser von 2*R also 774,6 mm.

Nochmal zum Verständnis

Mit Flächeninhalt meine ich nicht die Fläche des Bands (z.B. Papierfläche), denn dafür müsste ich noch die Breite kennen, die hier irrelevant ist. Es geht immer um die Fläche des Kreisrings, wenn ich den Coil im Querschnitt betrachte.

Ich hoffe, das war verständlich. Melde dich gerne, falls es noch Fragen gibt.

Viele Grüße,
fuerderer
Autor dieses Themas
ibaas

ibaas hat kostenlosen Webspace.

10:48, 26.2.2023

Hallo fuerderer,

ich habe die Formel in Excel eingebaut und auch alles wunderbar geklappt. Vielen Dank für deine Hilfe

Viele Grüße
Werner

Beitrag zuletzt geändert: 1.3.2023 4:52:15 von ibaas
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