Basiswechsel bei Matrix
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ah okay, ja klar stimmt die sind durch ihren Betrag geteilt. Okay, wusst ich net, dass man so "normiert" :)
Danke, die anderen schritte wie man auf die einzelnen bs kommt hab ich denk ich verstanden.
Aber wie transformiere ich dann A noch? -
Hm, also, ich würd sagen:
B*A*B^-1
Bin mir dessen aber auch nicht ganz hundertprozentig sicher... Der Grund ist, dass, wenn du diese neue Transformation auf einen Vektor anwendest (von rechts mit der neuen Matrix multiplizierst), der bezüglich der Basis (b1,b2,b3) ausgerdückt ist, wird dieser zuerst mit B^-1 in die Standard-Basis abgebildet, dann wird A darauf angewendet und anschließend wird das Ergebnis wieder in die Basis (b1,b2,b3) transformiert... Und wenn du dann die Matrizen zusammenmultiplizierst, erhälst du eine Matrix für alle drei Operationen.
Allerdings, wie gesagt, ist nicht ganz sicher... Bin schließlich noch nicht wirklich studiert ;) -
ich hab hier lang und breit erklärt warum das nicht richtig ist aber mein Post wurde gelöscht
Ist doch ganz einfach: Matrix B auf einen Einheitsvektor angewendet gibt einen der Basisvektoren von B dargestellt im kartesischen KS E.
B^-1 macht es rückgängig.
Die Matrix ist bzgl. E definiert, wir wollen sie aber bzgl. B definiert haben.
Deswegen müssen wir erstmal die Einheitsvektoren von B ins kartesische KS transformieren, also A*B und dann wieder zurück vom kartesischen nach B, also B^-1 * A * B -
Erstmal wasn das für ein freak, dass er die Indexs nach oben schreibt??
Schau dir einfach an, was f(b_1), f(b_2) und f(b_3) macht
f(b_1) = b_1 + b_2 daraus folgt
A*b_1 = b_1 + b_2
also A*(1,0,0) = (1,1,0) (jetzt als Zeilen geschrieben da ich hier keine Spaltenvektoren schreiben kann)
damit das funktioniert muss natürlich in der ersten Spalte der Matrix stehen:
1 _ _
1 _ _
0 _ _
Matrixmulitplikation ist Zeile mal Spalte u know und b_1 als Spaltenvektor ist eben
1
0
0
und f(b_1) ist
1
1
0
was in den anderen Spalten steht interessiert im ersten Schritt nicht, da alle außer der ersten Komponente vom Vektor 0 sind. -
f(b_1) = b_1 + b_2 daraus folgt A*b_1 = b_1 + b_2
warum folgt das daraus?
und b1 ist doch (1,1,1) und b1 + b2 ist (0,2,1) also hab ich doch A* (1,1,1) = (0,2,1) ? -
allyourhonks schrieb:
weil A die Matrix ist, die zur Funktion f gehört. Matrix A mit b_1 multiplizieren heißt die zugehörige lineare Abbildung auf b_1 anwenden, so ist das definiert.
f(b_1) = b_1 + b_2 daraus folgt A*b_1 = b_1 + b_2
warum folgt das daraus?und b1 ist doch (1,1,1) und b1 + b2 ist (0,2,1) also hab ich doch A* (1,1,1) = (0,2,1) ?
die Matrix A ist bzgl. der Basis B definiert, nicht bzgl. der Standardbasis {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}
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