0, Periode 9 = 1?
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10x = 9,P9
(10-1)x = 9,P9 - x
Kannst du mir das erläutern? o.O
Beitrag zuletzt geändert: 22.5.2012 20:37:41 von prinzie -
Er wird folgendes meinen:
Wenn
(1) a = 0.9P dann gilt (2) 10a = 9.9P
Dann kann man das ganze subtrahieren...
Daraus folgt:
(2)-(1) => 9.9P - 0.9P => 9a = 9
Und schon...
1 = a = 0.999.....
Beitrag zuletzt geändert: 22.5.2012 20:42:07 von adrians -
0,9periode = 1 ist tatsächlich so. Das haben schon hunderte vor dir festgestellt.
Beweisen kann man dies spätestens mit einer Reihenentwicklung.
Versuchs mal so:
0.9 (periode)
= lim [n -> inf] sum [i=1 -> n] 9 * 10^-i
= lim [n -> inf] 9 * 10^(-n-1) (1 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^n )
= lim [n -> inf] 9 * 10^(-n-1) (10^(n+1) - 1)/(10 - 1)
= lim [n -> inf] 10^(-n-1+n+1) - 10^(-n-1) = 1
Oder anderes Gedankenspiel:
3/9 = 0,333... | * 3
9/9 = 0,999...
Ist so. Ansonsten wäre hier vllt noch Lesestoff: http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...
Liebe Grüße -
@prinzie: Genauso meinte ich das.
icn nehme x,
x = 0,P9 | *10
10x = 9,P9| -x
10x-x = 9,P9 - 0,P9
9x = 9
x = 1
EDIT: @ggamee: Hab den Fehler verbessert, danke.
Beitrag zuletzt geändert: 23.5.2012 15:28:36 von homebrewfans -
homebrewfans schrieb:
x = 0,P9 | *10
10x = 9,P9| -x
10x-x = 9,P9 - 0,P9
9x = 9
x = 9
Du hast nen Fehler... x = 1 sollte am Ende rauskommen^^
x = 9/9
Liebe Grüße -
Die Reihe
R(1)= 0,9
R(2)=0,99
...
R(n)=0,9...9 (insgesamt n Neunen)
...
nähert sich mit zunehmendem n asymptotisch dem Wert 1,0 an.
Also ist 0,999... mit unendlich vielen Neunen=1.
-
ggamee schrieb:
Du weißt schon, dass du hier mit
Versuchs mal so:
0.9 (periode)
= lim [n -> inf] sum [i=1 -> n] 9 * 10^-i
= lim [n -> inf] 9 * 10^(-n-1) (1 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^n )
= lim [n -> inf] 9 * 10^(-n-1) (10^(n+1) - 1)/(10 - 1)
= lim [n -> inf] 10^(-n-1+n+1) - 10^(-n-1) = 1
deine Formeln richtig formatieren kannst, das vermeidet Missverständnisse...[math]
Damit man das besser lesen kann, und ich hoffe ich hab es so richtig verstanden:
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hackyourlife schrieb:
ggamee schrieb:
Du weißt schon, dass du hier mit
Versuchs mal so:
0.9 (periode)
= lim [n -> inf] sum [i=1 -> n] 9 * 10^-i
= lim [n -> inf] 9 * 10^(-n-1) (1 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^n )
= lim [n -> inf] 9 * 10^(-n-1) (10^(n+1) - 1)/(10 - 1)
= lim [n -> inf] 10^(-n-1+n+1) - 10^(-n-1) = 1
deine Formeln richtig formatieren kannst, das vermeidet Missverständnisse...[math]
Damit man das besser lesen kann, und ich hoffe ich hab es so richtig verstanden:
wow, da hat sich aber jemand Arbeit gemacht :)
wie in der 1. Antwort schon beschrieben, ist es lediglich ein Darstellungsproblem der Dezimalzahlen. Wenn man das ganze in einem anderen Zahlensystem berechnet (also z.B. 3x 1/3 (was ja 0,99999... ergibt) in ein passenderes Zahlensystem umwandelt (z.B. in das zur Basis 3), sollte man den Beweis auch ohne Grenzwertbetrachtungen machen könnten. -
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