Geodätische Gebilde
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Dumm von mir, das in´s Math-Gruppenforum zu packen. Bis da mal einer vorbei kommt-
Im Time-Life Buch "Mathematik" steht Buckminster Fuller habe sein Haus (geodätische Kugel) aus gleichseitigen Dreiecken gebaut. Alle graphischen Konstruktions-Verfahren, die ich finde gehen von gleichschenkligen Dreiecken aus.
Ich bin drauf und dran ein entsprechendes Ding in SketchUp zu konstruieren. Allerdings brauche ich dafür 1286 Flächen, wovon jede Linie exakt sein muß. Nun ist SketchUp zwar leicht zu bedienen, aber nicht eben gerade genau. Und es "korrigiert" Gebilde nach eigenen Vorstellungen (bzw. dem begrenzten Vorstellungsvermögen der Programmierer). Ich müßte also nach der Konstruktion jeder einzelnen Linie immer wieder alle Winkel und Längen überprüfen.
Kann mir jemand - bevor ich in meinem Alter noch Mathe studieren muß - sagen, ob die Konstruktion eines Kugelähnlichen Gebildes (also einer geodätischen Kugel) rein aus gleichseitigen Dreiecken möglich ist?
Es geht um Lösungen für Probleme im Bereich Katastrophen-Schutz. Ihr könntet also helfen, Leben zu retten. -
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Ich habe hier eine recht ausführliche Seite zur Konstruktion eines solchen Gebildes gefunden:
http://www.3doro.de/kupp-konstr.htm
Mit entsprechenden Zeichenfähigkeiten würde ich mich nach dieser Anleitung ans Konstruieren trauen.
Ob allerdings SketchUp dafür geeignet ist, bezweifelst nicht nur du, sondern auch ich
Das hier könnte auch helfen http://www.3d-meier.de/tut12/Seite0.html
Ich arbeite in der Firma mit AutoCAD. Dort hatten wir testweise mal das kostenlose DraftSight ausprobiert. Kann 3D, und die Bedienung ist der von AutoCAD recht ähnlich. Im Gegensatz zu AutoCAD ist DraftSight aber kostenlos.
Vielleicht kannst Du ja dieses Programm dazu nutzen, um deine Kuppel 3D zu konstruieren
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Ich danke Dir sehr. Zwar habe ich jetzt mit SketchUp schon einen 80-, 320- und 1286-Flächner konstruiert, aber alle eben mit gleichschenkligen Dreiecken.
Jetzt komme ich zumindest wieder ein Stück weiter.
Grüße nach Österreich! (War doch richtig, oder?) -
Um deine Frage beantworten zu können, muss man nicht erst Mathe studieren, nur den Wikipedia-Artikel zur Geodätischen Kuppel ansehen... Einfachstes Beispiel ist die klassische Fussball Form. Sie besteht aus gleichgroßen gleichschenkligen Fünfecken und gleichgroßen gleichschenkligen Sechsecken - diese lassen sich in gleichschenklige Dreiecke unterteilen. Du hast dann zwei verschieden große Dreiecke, die eine Kugel bilden und je weiter du das ganze wieder in Dreiecke unterteilst, desto runder wird die Form - also ja es geht theoretisch.
Ob es dazu eine Mathematische Formel gibt, weiß ich nicht (wahrscheinlich gibt es sicher eine). Aber wenn du es ohne Formel versuchen möchtest, musst du “nur“ aus Dreiecken ein gleichschenkliges Fünfeck konstruieren und aus der Schenkellänge des Fünfecks aus Dreiecken ein gleichschenkliges Sechseck machen. Diese kann man dann zu einer Kugel zusammensetzen.
Ich hoffe das war halbwegs verständlich. Aus Erfahrung kann ich aber sagen, dass es leichter ist das händisch zu fertigen, als am Computer. Wenn du übrigens mal eine Alternative zu SketchUp suchst, empfehle ich die Free Version des pCon Planner - ist zwar für Raumplanung, man kann aber auch gut konstruieren, ist meiner Meinung nach auch recht einfach zu bedienen und hat viele Möglichkeiten. -
Das war mir alles so weit klar.
Aber im Raum steht die Behauptung, daß die Konstruktion auch mit gleichseitigen Dreiecken möglich ist. Und das hat eine andere Qualität.
Trotzdem danke ich Dir für Deine Interesse und Deine Bemühungen. -
Hallo John,
ich finde das Thema interessant! Du kannst es empirisch ermitteln!
1. Wurde bereits benannt, dass ein Fußball aus gleichschenkliges 5-Ecken konstruiert wird!
2. Frage: Kann man ein gleichschenkliges 5-Eck aus gleichschenkligen Dreiecken konstruieren? --> meines Wissens geht das nicht, Denn ein gleichschenkliges Dreieck würde in einem gleichschenkligen 6-Eck enden, nicht 5-Eck!
3. Frage: Kann man eine Kugel aus gleichschenkligen 6-Ecken konstruieren? --> Antwort: nein!
Also kann man eine saubere Kugel, zumindest meines Wissens, nicht aus absolut gleichschenkligen 3-Ecken erstellen!
Nur mal so als Tipp, wie man noch an die Sache ran gehen kann!
Man nehme ein Tetraeder und erweitert dieses um beliebig viele gleichschenklige 3-Ecke. Dies kann man so lang machen, dass es einer Kugel ähnelt, jedoch wird es nie wirklich 100% rund werden! -
Es ist eben so, daß die Konstruktionsverfahren für geodätische Kugeln, die ich im Internet gefunden hatte eine Kombination aus 5- und 6eckigen Gebilden (sogen. Trusts) bilden, die einerseits aus gleichschenkligen, andererseits aus gleichsseitigen Dreiecken bestehen.
Das Buckminster-Haus soll aber ausschließlich aus gleichseitigen Dreiecken bestehen und das ist der casus knacktus:
Kugel= stabilstes 3-dimensionales Gebilde
gleichseitiges Dreieck= stabilstes zweidimensionales Gebilde
zusammen maximale Stabilität
Übrigens muß ich mich da bei Burgi noch mal bedanken. Auf der einen Seiet steht etwas von einem Konstruktionsverfahren mit gleichseitigen Dreiecken und das CAD-Programm macht einen grundsoliden Eindruck!
Beitrag zuletzt geändert: 2.12.2017 19:57:14 von john-gunn -
das Problem ist, gleichseitige Dreiecke sind ideal um eine Röhre zu bilden, durch die gleichen Seiten können diese perfekt angeordnet werden um diese Ringe für eine Röhre zu bilden.
Ich sage es ungern aber es ist nicht möglich aus auschließlich gleichseitigen Dreiecken eine Kugel zu bilden
Gleichschenklige sollten ein perfektes 5-eck bilden mit welchem du eine Kugel konstruieren könntest.
wofür brauchst du es eigentlich genau?
Gleichseitige Dreiecke müssten teils überlappen um eine Kugel bilden zu können, wodurch diese nicht mehr gleichseitig wären in ihrer Grundform -
Ich sage es ungern aber es ist nicht möglich aus auschließlich gleichseitigen Dreiecken eine Kugel zu bilden
Ich vermute das das ganze eher so weniger exakt funktioniert. Kuckt man sich so eine Icosphere an, kommt das ganze schon recht nah an ein Gleichseitiges Dreieck.
https://en.wikipedia.org/wiki/Icosphere
Erhöht man da die Anzahl der Dreiecke, kommt das ganze schon recht gut an gleichseitige Dreiecke dran, wenn ich auch nicht sicher bin das es welche sind.
http://prntscr.com/hi9u2g
http://prntscr.com/hi9u6v
http://prntscr.com/hi9udg
//Edit, habe das gerade nochmal überprüft, es scheinen nicht alles gleichseitige Dreiecke zu sein, das werden Prozentual aber mehr je größer die Anzahl der Flächen ist.
Beitrag zuletzt geändert: 2.12.2017 22:43:07 von horstexplorer -
Neben dem Buch von Time-Life habe ich jetzt eine weitere Quelle gefunden, die von gleichseitigen Dreiecken spricht.
https://www.welt.de/dieweltbewegen/article13472023/Er-sah-ins-All-und-entdeckte-die-Nachhaltigkeit.html
Und ich kann die Aussagen auch nicht ganz nachvollziehen, daß die Dreiecke überlappen müßten. Der Winkel von 60° ist ja nicht so etwas krummes oder abstruses.
Wenn ich den äquator meiner Kugel in 80 gleich große Teile zerlege und von jedem Grenzpunkt einen Kreis im Winkel von 60 Grad nach links und rechts um die Kugel schlage, der wieder in 80 gleich große Teile geteilt ist, müßten theoretisch die Kreuzungspunkte übereinander liegen und damit wäre die Kugel schließlich vollständig mit gleichseitigen Dreiecken bedeckt.
Ich fürchte, ich muß das Ding konstruieren um mir Klarheit zu verschaffen.
Wenn Ihr dann die nächsten Jahre nichts mehr hört...
Wenn ich die Kugel als Schichtmodell begreife, wird der Kreis am Äquator der größte sein, der nächste muß dann etwas kleiner sein und so weiter... Dann kann das mit den gleichseitigen Dreiecken nicht funktionieren.
Wenn ich aber dafür sorge, daß jeder Eckpunkt eines Dreiecks genau gleich weit von allen anderen Eckpunkten, mit denen er verbunden ist, entfernt ist, müßte es eigentlich gehen.
Beitrag zuletzt geändert: 3.12.2017 7:27:35 von john-gunn -
Ja, wenn du es zerlegst, kommt es zwar dich an gleichseitige Dreiecke ran aber eine Kugel ist nur mit gleichschenkligen oder einem Mix aus gleichseitigen und gleichschenkligen Dreiecken möglich.
Diese gleichschenkligen Dreiecke haben an der Seite, welche nicht der Länge der anderen beiden Seiten entspricht eine leicht unterschiedliche Länge. Wenn diese Länge minimal größer oder kleiner ist, so scheint es wie ein gleichseitiges Dreieck wirken, ist es aber nicht. -
Das ist das Ergebnis, mit dem ich rechne.
Trotzdem frage ich mich, ob Time-Life tatsächlich so schlampig ermittelt hat.
Und ich würde das Ergebnis bedauern. -
würde dein Thema denn nicht mit gleichschenkligen Dreiecken auch funktionieren?
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weniger gut. Es geht bei Tornado- und Erdbebensicheren Gebäuden nun mal um Stabilität.
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wie wäre eine Kombination aus gleichseitigen und gleichschenkligen Dreiecken?
Wie schon beschrieben, ein Ring lässt sich ideal aus gleichseitigen Dreiecken erstellen, wenn du damit zwei Ringe gekreuzt die Grundform der Kugel bilden lässt und die fehlenden Flächen mit gleichseitigen Dreiecken auffüllst, sollte die Stabilität immer noch gegeben sein, da die gleichseitgen Formen die Stabilität der Kugel gewährleisten. -
Wenn das beste nicht zu kriegen ist, nehmen wir das zweitbeste.
Ich denke, wir müssen die Lösung mit der geringsten Abweichung vom Ideal finden, wenn das Ideal nicht möglich ist.
Danke für alle Hilfe. Mein Bewertungsding funktioniert noch nicht. Ich würde gerne ein paar Punkte verteilen.
Ich halte Euch ggf. auf dem Laufenden. Vieleicht gibt es auch noch weitdere Probleme.
freundschaftliche Grüße, John
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kein Ding! Ich wünsch dir Erfolg mit deinem Projekt
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Heute Nacht spät, habe ich gedacht, ich hätte eine Lösung-
Ich dachte, wenn man das Ding nicht auf der Aussenfläche konstruiert sondern mittels Strahlen vom Mittelpunkt (Buckminster hatte Spannvorrichtungen an jedem Knotenpunkt, mit deren Hilfe er die Dreiecke justieren wollte.)
Wenn man also Strahlen vom Mittelpunkt aus auf eine Aussenkugel führt, die dort in einem Winkel von 60° zueinander und mit gleichen Abständen von einander auftreffen.
Da es möglich ist einen xbeliebigen Kreis gleichmäßig zu teilen dachte ich, das müsse auch mit einer Kugel gehen.
Bin mir noch nicht ganz sicher, ob die Ungenauigkeiten auf das Grafikprogramm oder einen Denkfehler meinerseits zurück zu führen sind, aber es gibt welche.
then again... Sind die Genauigkeiten von heute nur die Ungenauigkeiten von Morgen, wenn wir bessere Messmethoen und -instrumente haben.
Ich glaube, deshalb sind diese Gebilde alle so groß. Sie sind so konzeptioniert, daß die Ungenauigkeiten im Bereich "ist zu vernachlässigen" liegen.
Wahrscheinlich wird es immer eine zweitbeste Lösung geben. Und den Idealfall erreichen wir vieleicht nie.
Danke nochmals an alle!
Bei einer Kantenlänge von 2m mit 80 Elementen an der Grundlinie(Äquator) komme ich aktuell auf einen Radius von 25,471337057. Die Verbindung an den Spitzen der beiden nebeneinander auf der Grundlinie stehenden Dreiecke ist um 1,541928mm kürzer als 2m. Schade!
Beitrag zuletzt geändert: 5.12.2017 12:38:27 von john-gunn -
Du schriebst du hast eine Lösung gefunden?
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Ich fürchte, ich habe mich geirrt. Sorry.
Sah irre gut aus... aber wie gesagt: genaueres Messen enthüllt dann doch Diskrepanzen (ca. 1,5mm auf 2m) -
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