Lancelot Hogben: "Mathematik für Alle"
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kennt jemand die englische Ausgabe von "Mathematik für Alle".
Es gibt da ein Problem mit den Dezimalzahlen, indem Hogben z.B. 0,1 als andere Schreibweise des Bruches 1/9 bezeichnet. Ich dachte immer, das wäre 1/10.
Liegt´s nun an mir, der Übersetzung oder Hogben ? -
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Ich kenne leider den Text nicht, aber ich möchte mal ein paar Spekulationen wagen.
Erstmal: 1/10=0.1; 1/9 ist 0.11111[...]
1/9 ist eine rationale Zahl, also eine Kommazahl, welche unendlich viele Nachkommastellen hat.
Zum Betrachten müssen diese irgendwo abgeschnitten sein.
Runden wir 1/9 auf eine Nachkommastelle, so erhalten wir 0.1
Solange wir eine Zahl nicht als Bruch ausdrücken kann unsere Berechnung von dem tatsächlichen Ergebnis abweichen.
Zur Verdeutlichung ein kleines Beispiel:
Teilen wir eine beliebige Zahl (außer 0) durch sich selbst, erhalten wir immer 1 (a/a=1).
Somit ist 3/3=1
Und damit auch (1/3)+(1/3)+(1/3)=3/3=1
Schreiben wir 1/3 als Dezimalzahl, erhalten wir 0.3333[...].
(1/3)+(1/3)+(1/3)=0.3333[...]+0.3333[...]+0.3333[...]=0.9999[...]
Nun kommen wir zu dem Problem, dass 0.9999[...]=1.0000[...]. Dies stimmt, für unendlich viele Nachkommastellen. Runden wir jedoch im vorraus um mit handlichen Zahlen rechnen zu können, erhalten wir 3*0.3=0.9 oder 3*0.33=0.99
Bis dahin nicht umbedingt schlimm, jedoch verschlechtert sich unser Ergebnis nach weiteren Berechnungen:
0.99*2=1.98 | (3/3)*2=2
1.98*10=19.8 | (3/3)*20=20
19.8*10=198 | (3/3)*200=200
Aus diesem Grund gibt es für das Rechnen mit Messwerten Rundungsregeln.
Ein Ergebnis kann nicht genauer sein, als der Wert mit den geringsten signifikanten Stellen.
Wenden wir dies auf unsere Rechnung an, erhalten wir diesesmal wieder den richtigen Wert:
0.99 (2 signifikante Stellen) * 2 = 2.0 (1.98 wird so gerundet, dass nur noch zwei signifikante Stellen übrig bleiben)
Somit wissen wir bei 2.0, dass der tatsächliche Wert in einem Bereich von 1.5-2.4 liegt.
Haben wir 2.00, so liegt der tatsächliche Wert zwischen 1.95-2.04.
Das hat natürlich auch seine Tücken:
1004 (4 signifikante Stellen) + 0.001 (1 signifikante Stelle) = 1000 (1 signifikante Stelle)
Obwohl etwas hinzugefügt wurde, ist die Zahl verringert worden.
Um wieder auf dein Beispiel zurückzukommen:
1 (1 signifikante Stelle) / 9 (1 signifikante Stelle) = 0.1 (1 signifikante Stelle)
Arbeiten mit Zahlen ist nicht einfach und man kann damit auch viel verschleiern.
Besonders schwierig ist die Auswertung von irgendwelchen Statistiken. Je nachdem wie die Zahlen präsentiert werden, kann ein komplett verschiedener Eindruck entstehen. -
Ja, aber in dem Buch steht ausdrücklich, daß 0,1 eine andere Schreibweise für den Bruch 1/9 ist also nicht "..für 1/10 oder aufgerundet für 0,0x wobei x>4 oder 1,x wobeix<5..."
Thema ist, warum die alten Griechen das Problem mit Achilles und derf Schildkröte von Zenon nicht lösen konnten. Weil sie keine Dezimalzahlen hatten. Das ist aber kein Problem des Auf- oder Abrundens. -
Das war das Problem, beidem die Schildkröte eingeholt werden sollte.
Die Schildkröte bewegt sich immer um die Hälfte (beliebig austauschbar für alle Zahlen: 0<x<1) der Strecke, die der schnelle Läufer Achilles zurücklegt.
Haben wir am Anfang einen Abstand von 10m, und Achilles macht einen einen Meter großen Schritt, so haben wir diesen Abstand vom Start:
A(chilles): 1m | S(childkröte): 10.5m
Die Schildkröte bewegt sich weiter. Um sie einzuholen, bewegt sich A nun 0.5m weiter:
A:1.5m | S: 10.75m
Und so geht es weiter:
1.75 | 10.875 (+0.25 | + 0.125)
1.875 | 10.9375 (+0.125|+0.0625)
1.9375 | 10.96875
...
1,99999999999989 | 10,9999999999999
...
2 | 11
Es scheint, als würde die Schildkröte nie eingeholt werden.
Zum besseren verstehen, schreibe ich es mal als Reihe:
Achilles=(1/1)+(1/2)+(1/4)+(1/8)+...+(1/n)
Achilles=(1/[2^0])+(1/[2^1])+(1/[2^2])+(1/[2^3])+...+(1/[2^n])
Addieren wir unendlich lange, erhalten wir Achilles=1/(1-(1/2))=2
(Nennt sich die Geometrische Reihe)
Ich habe damit gezeigt, dass nach dieser Rechnung Achilles 2m weit kommt und die Schildkröte 10m+(2m/2)=11m weit kommt.
Dafür habe ich natürlich Dezimalzahlen, bzw. Brüche verwendet.
Aber auf dieses Ergebnis kamen auch schon die Griechen (sonst wäre dieses Problem ja nicht bekannt geworden).
Wollen wir wissen, wann Achilles die Schildkröte einholt, berechnen wir dies heutzutage mit der Geschwindigkeit:
v(A)=1m/s, v(S)=0.5m/s
s=v*t
s(A)=s(S)=1*t=10+0.5*t
t=20
Nach 20 Sekunden hat A S eingeholt, das entspricht 20*1=20m.
Wie sind nun beide Rechnungen miteinander verbunden?
Bei der Reihe wird die Zeit nicht beachtet (Schrittgröße von A und die Zeit):
1m|0.5m|0.25m|0.125m|...
1s|0.5s|0.25s|0.125s|...
Es wurden also immer kleinere Zeitabschnitte betrachtet.
Ich vermute mal, dass die Griechen Geschwindigkeit nicht kannten. Sonst hätten sie das Paradox lösen können.
Ohne Dezimalzahlen haben sie schließlich das Problem aufstellen können, also wäre es auch möglich (bei wie von mir einfach gewählten Geschwindigkeiten) die Verknüpfung mit der Zeit aufzustellen.
Nur eine Vermutung, ich kenne mich mit der Geschichte nicht genau genug aus.
Aber nirgends konnte ich nun etwas finden, das 1/9=0.1 nahe kommt.
-
Nein, die Griechen kannten keine Dezimalzahlen und konnten dieses Problem deshalb nicht lösen.
Der Rest ist seit Urzeiten bekannt. Ich fragte mich nur, ob ich die Dezimalrechnung falsch verstanden habe, ob der Übersetzer ein Schussel war, oder ob dem großen Mathematiker Hogben tatsächlich so ein Fehler unterlaufen ist. -
Das mit den Dezimalzahlen als Begründung der nicht-Lösbarkeit glaub ich nicht. Ich zeige es mal ohne Dezimalzahlen.
Zu allererst möchte ich dir dieses Zitat zeigen, welches ich im Internet gefunden habe. Ich weiß nicht, ob es aus dem Originalwerk "Mathematics for the million" stammt, jedoch enthält es genau deine Fragestellung:
Since Achilles runs 10 times as fast as the turtle, logic
and arithmetic suggest that Achilles has traveled 100
yards + 10 yards + 1 yard + 1/10 of a yard + 1/100 of a
yard into infinity to have run: 111.111111
1
.
At this point, more advanced students are ready
to discuss the concept of a series that converges to a
limiting value: no matter how many 1’s are to the
right of the decimal point, the value of .111111
1
never exceeds 1/9
Die Zahlen wurden hier noch einfacher gewählt, sodass sofort der Grenzwert ersichtbar ist (bei mir war das ja nicht so).
Wenn wir summieren (1/10)+(1/100)+(1/1000)... so erhalten wir immer eine weitere "1" am Ende der Zahl:
0.11111[...]
Damit nähern (konvergieren) wir uns an 1/9. Da es offensichtlich unmöglich ist, die Zahl über 1/9 zu erhöhen, konvergiert unsere Reihe mit dem Grenzwert 1/9.
Grenzwert der Summe von n=1, n->unendlich von 1/(10^n) ist 1/9
Kommen wir nun zu meinem Beweis:
(1) Achilles läuft n-mal schneller als die Schildkröte.
(2) Legt Achilles die Strecke s zurück, so hat sich die Schildkröte um s/n weiterbewegt.
(3) Die Schildkröte hat gegenüber Achilles einen Vorsprung von a Meter
Diese drei Sätze beschreiben das Problem und müssen, da das Problem von den Griechen irgendwie formuliert werden musste, auch so ihnen bekannt sein.
Die Fragestellung ist, nach welcher Strecke Achilles die Schildkröte eingeholt hat, bzw. die Behauptung, es sei unmöglich für Achilles die Schildkröte einzuholen.
Annahme 1: Achilles und die Schildkröte verändern nicht ihre Geschwindigkeit.
(sonst könnte die Schildkröte stehen bleiben, das n-fache von null ist null, somit legen beide keinen Weg zurück und Achilles kann die Schildkröte nicht einholen.)
Am Anfang hat Achilles einen Abstand zum Startpunkt von 0 Meter, die Schildkröte a Meter.
Damit wir keine Dezimalzahlen bekommen (außer es gibt sie von Anfang an, was nicht sein kann, wenn die Griechen keine Dezimalzahlen kannten) forme ich (2) um in:
(2') Bewegt sich die Schildkröte um s weiter, so legte Achilles die Strecke s*n zurück (entspricht einer Multiplikation mit n)
Den Zeitabschnitt, in dem sich die Schildkröte um s weiterbewegt nennen wir t.
Somit erhalten wir für den Abstand von Achilles und der Schildkröte zum Start in Relation zu t:
Abstand_Achilles(t)=s*n*t
Abstand_Schildkröte(t)=s*t+a
Achilles hat die Schildkröte eingeholt, sobald der Abstand_Achilles gleich groß ist wie Abstand_Schildkröte.
Somit können wir die beiden Gleichungen gleichsetzen und erhalten:
s*n*t=s*t+a |-(s*t)
(n-1)*s*t=a
Da n,s und a bekannt sind, lässt sich t bestimmen. Ohne das Kentniss der Division kann der Term (n-1)*s so lange summiert werden, bis er gleich a ist, oder für den Fall, dass es nicht aufgeht, erhält man zwei Werte, zwischen denen der Richtige liegt.
Um diesen genau zu bestimmen wäre es notwendig a/[(n-1)*s]=t zu berechnen.
Mit der Näherung von t oder dessen exakten Wert können wir nun die Strecke bestimmen:
Strecke=s*n*t=s*t+a
Da diese Berechnung für alle (n>=1, a>=0, s>0) möglich ist, ist es für Achilles möglich, die Schildkröte einzuholen.
Somit ist der zweite Teil der Fragestellung bewiesen.
Der erste Teil lässt sich mindestens näherungsweise bestimmen, für bestimmte s,n und a sogar eindeutig.
Somit ist es möglich, ohne die Verwendung von Dezimalzahlen die Aufgabe zu lösen. -
Konkret: Hogben sagt, daß die alten Griechen auf den Abakus angewiesen waren für ihre Berechnungen und deshalb Probleme mit der Division im Ganzen hatten. (etwas vor der von Dir zitierten Stelle.
Diese aber beantwortet nichtsdestotrotz meine Frage. Der Übersetzer hat geschlampt. Im Originaltext heißt es offensichtlich 1/10.
Ich könnte jetzt noch ergänzend hinzufügen, daß die Griechen ohnehin nicht die großen Mathematiker waren, als die sie immer ausgegeben werden. Sie betrachteten die Mathematik als Hobby, nicht als Wissenschaft.
Funde der Archäologie und Logik beweisen, daß schon die alten Ägypter die Trigonometrie aus dem FF beherrschten, sonst wären ihnen die exakten Kreisbahnberechnungen und exakten Zeitmessungen gar nicht möglich gewesen, die beim Pyramidenbau zum Einsatz kamen.
Ich danke Dir für Deine Mühe. -
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