Pi ist gleich 4
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Da es nicht direkt zur Schule gehört, schreib ich des mal in Off-Topic.
Wer kennt es nicht, die Kopfnüsse. Es gibt einige Dinge, welche einen in falsche Logik führen und dabei in sich selbst nur ein einziges kleines Detail nicht beachten. So haben wir heute mal ein kleines "Rätsel", unzwar, warum Pi = 4 ist.
Ich weiß selbst nicht ganz genau, warum es so ist, doch wer weiß, vllt erkennt einer von euch die Finte ja auf anhieb, oder bestätigt meine Vermutung.
Nun, hier das Rätsel: http://sateffen.bplaced.net/mathematik/pi-ist-gleich-4.html
Viel Spaß und liebe Grüße -
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Die Seite berücksichtigt eben nicht, dass selbst bei unendlicher Verkleinerung der abgeknickten Seiten der Quadrate immer noch nicht der kürzeste Weg um die Kurve genommen wird.
Deshalb sind die von trueweb genannten Dreiecke die korrektere Lösung der Problematik. -
Hmm, ihr behauptet also, dass ein n-Eck mit unendlich Ecken nicht so genau ist, wie ein n-Eck mit unendlich Ecken. Ich weiß was angesprochen wird, es ist aber keine Begründung. Ich erläutere auch ganz kurz warum:
Eine Kurve wird in einer Integralannäherung (also wenn man ein Integral herleitet). Dies geschieht oftmals durch eine Treppenfunktion. Kann man unterschiedlich machen, klar, aber so geht es gut. Hier ein Bild dessen:
http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/img1160.gif
Wenn man eine solche Funktion durch Rechtecke annähern kann, warum dann ein Kreis nicht?
Jemand anders noch Ideen? :)
Liebe Grüße -
ggamee schrieb:
Integral bezieht sich aber auf Flächen
Eine Kurve wird in einer Integralannäherung (also wenn man ein Integral herleitet). Dies geschieht oftmals durch eine Treppenfunktion.
ggamee schrieb:
Weil es hier eben nicht um die Fläche geht, sondern um den Umfang.
Wenn man eine solche Funktion durch Rechtecke annähern kann, warum dann ein Kreis nicht? -
ggamee schrieb:
Hmm, ihr behauptet also, dass ein n-Eck mit unendlich Ecken nicht so genau ist, wie ein n-Eck mit unendlich Ecken.
...
Hallo ggamee,
das hängt davon ab, wie man 'genau' definiert. Das beschriebene Vorgehen minimiert ja nicht den Umfang sondern den Abstand der Punktmenge des Polygonzuges von der Punktmenge des Kreises. Hierbei soll 'Abstand' das Linienintegral über die minimalen Abstände aller Punkte des Polygonzuges mit den Punkten des Kreises bezüglich der euklidischen Norm sein.
Mit obigem Abstandsbegriff kann man sagen, dass die Genauigkeit zunimmt.
Aber das bezieht sich halt nicht auf den Umfang. Wenn man sich anschaut, was passiert, dann sieht man, dass ein Fraktal erzeugt wird. Fraktale können aber innerhalb einer beliebig kleine Fläche größer Null liegen und dabei sogar unendlich lang sein. (Da gibt es eine schöne Veranschaulichung mit einem Küstenabschnitt, der eigentlich unendlich lang ist, da bei immer genauerer Betrachtung des Meer/Landüberganges die Länge immer weiter zunimmt).
Um die Kreiszahl Pi herzuleiten müsste man aber die Länge minimieren, d.h. gesucht ist der Polygonzug mit minimaler Länge. Wenn man das macht, dann bekommt man für n-Ecke im Limes n gegen unendlich auch Pi heraus.
Edit: Mir ist gerade aufgefallen, dass das oben genanntes Linienintegral divergent ist. Daher sollte man die Passgenauigkeit wohl besser anhand des mittler Abstandes der Ecken zum Kreis definieren.
Beitrag zuletzt geändert: 14.4.2012 23:40:44 von darkpandemic -
ggamee schrieb:
Hmm, ihr behauptet also, dass ein n-Eck mit unendlich Ecken nicht so genau ist, wie ein n-Eck mit unendlich Ecken.
Nein, ich behaupte, dass n-Eck mit rechtwinkligen Ecken ist weniger genau, als das n-Eck mit Ecken kleiner 90°. -
trueweb schrieb:Nein, ich behaupte, dass n-Eck mit rechtwinkligen Ecken ist weniger genau, als das n-Eck mit Ecken kleiner 90°.
Ja ich weiß was du meinst. Ich weiß auch, dass du mit deinen Dreiecken wesendlich besser hinkommst, immerhin das das ne einfache Tangentenapproximation, und nicht wie bei mir eine Punkteapproximation. Die Punkteapproximation ist interessanterweise sehr viel ungenauer und hat einen Fehler von bummelligen 30%, was finde ich schwer in den Schädel geht wenn man sagt "ich habe ein n-Eck das genauer ist als ein anderes n-Eck, jeweils mit unendlich Ecken
Ich dacht ich kann damit nochmal für Verwirrung stiften, ist das blöd wenn man nur interligente Personen in nem Forum hat Und ich dacht ich kann nen paar Leute knobeln lassen.
Naja, liebe Grüße :) -
tobiworlds schrieb:
Die Seite berücksichtigt eben nicht, dass selbst bei unendlicher Verkleinerung der abgeknickten Seiten der Quadrate immer noch nicht der kürzeste Weg um die Kurve genommen wird.
Deshalb sind die von trueweb genannten Dreiecke die korrektere Lösung der Problematik.
Ich stimme truewebs Meinung ebenfalls zu, da wir das Thema erst letztens und der Schule wiederholt haben und der lehrer und das auch nach diesem Prinzip erklärt hat. -
ggamee schrieb:
Ja ich weiß was du meinst. Ich weiß auch, dass du mit deinen Dreiecken wesendlich besser hinkommst, immerhin das das ne einfache Tangentenapproximation, und nicht wie bei mir eine Punkteapproximation. Die Punkteapproximation ist interessanterweise sehr viel ungenauer und hat einen Fehler von bummelligen 30%, was finde ich schwer in den Schädel geht wenn man sagt "ich habe ein n-Eck das genauer ist als ein anderes n-Eck, jeweils mit unendlich Ecken
Ich dacht ich kann damit nochmal für Verwirrung stiften, ist das blöd wenn man nur interligente Personen in nem Forum hat Und ich dacht ich kann nen paar Leute knobeln lassen.
Naja, liebe Grüße :)
Meiner meinung nach dürfte dieser winzig kleine unterschied zwischen kreis und von den von ggamee gut beschriebenen n- eckigen figuren irrellevant sein, da man in der mathematik ja auch keine unterschiede zwischen 0,Periode9 und 1 mache, obwohl auch hier ein winzig kleiner, irrelevanter unterschied vorliegt!!!!!!!! auch wenn ich nicht weiß, wie ich das meinem mathe-AG leitendem lehrer erklären soll!!!es ist trotzdem genial.......
@ggamee: bei der sache mit der INTERLIGENZ geb ich dir voll und ganz recht ;D -
Nach unendlich Schritten ist die äußere Linie in der Tat ein Fraktal und eben keine Kreislinie. Da stört es nicht, dass der eingeschlossene Flächeninhalt gleich dem des Kreises ist.
Mit solchen fraktalen Linien kann man insgesamt sehr lustige Sachen machen. Beispielsweise ist es möglich zu jeder positiven Zahl A eine Figur mit Hilfe von Linien zu konstruieren, deren Flächeninhalt gerade A ist und die einen beliebigen (sogar unendlichen) Umfang hat.
Kleiner Nachtrag (es hat mich nicht schlafen lassen): Der Umfang u kann nicht ganz beliebig sein, sondern muss zumindesterfüllen.
Beitrag zuletzt geändert: 6.12.2012 4:36:01 von bettcrew -
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